2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.2.2反证法学案新人教B版选修2_2.doc

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1、2．2.2反证法1.了解反证法的基本思想．2.理解反证法的证明思路．3.会用反证法证明数学问题．反证法(1)定义由证明p⇒q转向证明：﹁q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定﹁q为假，推出q为真的方法叫做反证法．(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤①分清命题的条件和结论；②做出与命题结论相矛盾的假定；③由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可

2、以是演绎推理．()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()答案：(1)√(2)×(3)√2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案：C3．命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是()A．a＜bB．a≤bC．a＝bD．a≥b答案：B10用反证法证明否定性命题如图，设SA、SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点．求证：AC与平面SOB不垂直．[证明]假设AC⊥平面SOB，因为直线SO在平面SOB内，所以AC⊥SO.又S

3、O⊥底面，所以SO⊥AB.因为AB∩AC＝A，所以SO⊥平面SAB.故平面SAB∥底面．这与已知条件矛盾，所以假设不成立．即AC与平面SOB不垂直．(1)用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．(2)用反证法证明数学命题的步骤1.已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.证明：假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，即(a＋b)2＋(c＋d

4、)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0.所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾，故假设不成立．所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.2．已知三个正数a，b，c，若a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，求证：a，b，c10不成等差数列．证明：假设a，b，c构成等差数列，则有2b＝a＋c，即4b2＝a2＋c2＋2ac，又a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，且a，b，c为正数，所以b4＝a2c2且a，b，c互不相等，即b2＝ac，因此4ac＝a2＋c2＋2ac，所以(a－c)2＝0，从而a＝c＝b，这与a，b，c

5、互不相等矛盾．故a，b，c不成等差数列．用反证法证明唯一性命求证：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．[证明]已知：点P在直线a外．求证：过点P与直线a平行的直线有且只有一条．证明如下：因为点P在直线a外，所以点P和直线a确定一个平面，设该平面为α，在平面α内，过点P作直线b，使得b∥a，则过点P有一条直线与a平行．假设过点P还有一条直线c与a平行，因为a∥b，a∥c，所以b∥c，这与b、c相交于点P矛盾，故假设不成立．即过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一

6、存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．已知a≠0，证明方程ax＝b有且只有一个根．证明：由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝，如果方程不止一个根，不妨设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1＝b，①ax2＝b.②10①－②得a(x1－x2)＝0.因为x1≠x2，所以x1－x2≠0，所以应有a＝0，这与已知矛盾，故假设不成立．所以，当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根．用反证法证明“至多”“至少”命题设f(x)＝x2＋bx＋c，x∈[－1，1]，证明：当b＜－2时，f(x)在其定义域内至少存在一个x，使f(x)≥成立．[证明]假设不

7、存在x∈[－1，1]使f(x)≥成立，则对任意x∈[－1，1]都有－＜f(x)＜成立．当b＜－2时，x＝－＞1，所以f(x)在[－1，1]上是单调递减函数，所以⇒b＞－，与b＜－2矛盾．故假设不成立，因此当b＜－2时，f(x)在其定义域内至少存在一个x，使f(x)≥成立．(1)对于结论中含有“至多”“至少”等词语的命题，若直接从条件推证，解题方向不明确，过程不可推测，不易证明，则可考虑用反证法证明．(2)注意“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式分别为“一个也