2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法练习新人教A版选修2_2.doc

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1、§2.2.2　反证法[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析　依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.答案　A2．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是A．有两个内角是

2、钝角　　　B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角解析　“最多有一个”的反设是“至少有两个”．答案　C3．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则A．a，b都与l相交B．a，b中至少有一条与l相交C．a，b中至多有一条与l相交D．a，b都不与l相交解析　易知直线a，l共面且b，l共面，假设a，b都不与l相交，则a∥l，且b∥l，∴a∥b，这与a，b是异面直线矛盾，故a，b至少有一条与直线l相交，故选B.答案　B4．已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R，下列四个命题：①若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；②若f(a)

3、＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0；③若a＋b<0，则f(a)＋f(b)

4、B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形解析　因为正弦值在(0，π)内是正值，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形．假设△A2B2C2也是锐角三角形，并设cosA1＝sinA2，则cosA1＝cos(90°－∠A2)，所以∠A1＝90°－∠A2.同理设cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2，则有∠B1＝90°－∠B2，∠C1＝90°－∠C2.又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°，∴(90°－

5、∠A2)＋(90°－∠B2)＋(90°－∠C2)＝180°，即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°.这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立．故选D.答案　D6．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为：an＝an＋2，bn＝bn＋1，(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是A．0B．1C．2D．无穷多解析　假设存在序号和数值均相等的两项，即存在n，使得an＝bn，但若a＞b，n∈N＋，恒有a·n＞b·n，从而an＋2＞bn＋1恒成立．∴不存在n，使得an＝bn.答案　A二、填空题(每小题5分，共15分)7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，

6、则a，b全为0(a，b为实数)”，其反设为________．4解析　“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．答案　a，b不全为08．用反证法证明：“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个角是直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析　由反证法的证题步骤：“反设—归谬—结论”可知上述步骤的正确顺序为③①②.答案　③①②9．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，

7、Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P，Q，R同时大于零”的________．解析　必要性显然成立；“PQR＞0”包括P，Q，R同时大于零或其中有两个为负两种情况．假设P，Q分别小于零，则2b＜0，这与b为正实数矛盾，同理，P，R同时小于零或Q，R小于零的情况亦得到矛盾，故P，Q，R同时大于零．答案　充分必要条件三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：<2与<2中至少有一个成立．证明　假设<2和<2都不成立，则