2017-2018学年高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法优化练习新人教A版选修

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1、2.2.2反证法[课时作业][A组　基础巩固]1．用反证法证明：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为(　　)A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．”答案：D2．实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则(　　)A．a，b，c都是正数B．a，b，c都大于1C．a，b，c都小于2D．a，b，c中至少有一个不小于解析

2、：假设a，b，c中都小于，则a＋2b＋c<＋2×＋＝2，与a＋2b＋c＝2矛盾∴a，b，c中至少有一个不小于.答案：D3．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，(2)已知a，b∈R，

3、a

4、＋

5、b

6、<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设

7、x1

8、≥1，以下结论正确的是(　　)A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确解析：(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．答案：D4．设a，b，

9、c大于0，则3个数：a＋，b＋，c＋的值(　　)A．都大于2　　　　　B．至少有一个不大于2C．都小于2D．至少有一个不小于2解析：假设a＋，b＋，c＋都小于2则a＋<2，b＋<2，c＋<2∴a＋＋b＋＋c＋<6，①又a，b，c大于0所以a＋≥2，b＋≥2，c＋≥2.∴a＋＋b＋＋c＋≥6.②故①与②式矛盾，假设不成立所以a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.答案：D5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是(　　)A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至少有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：三个内角至少有一个

10、不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°.答案：B6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”．答案：没有一个是三角形或四边形或五边形7．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．解析：显然①、②不能推出，③中a＋b>2能推出“a，b中至少有一个大于1”否则a≤1，且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾．④中取a＝－2，b＝0，推不出．答案：③8．用反证法

11、证明质数有无限多个的过程如下：假设________．设全体质数为p1，p2，…，pn，令p＝p1p2…pn＋1.显然，p不含因数p1，p2，…，pn.故p要么是质数，要么含有________的质因数．这表明，除质数p1，p2，…，pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．解析：由反证法的步骤可得．答案：质数只有有限多个　除p1，p2，…，pn之外9．用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．证明：由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.因为b∥a，由平行公理知

12、b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立．10．已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．证明：假设x0是f(x)＝0的负数根，则x0<0且x0≠－1且ax0＝－，由0

13、证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为________．解析：“a、b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．答案：a，b不全为03．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a>b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得