2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.2.2反证法应用案巩固提升新人教B版选修2_2.doc

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1、2.2.2反证法[A　基础达标]1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是(　　)A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角解析：选C.“最多有一个”的反设是“至少有两个”．2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为(　　)A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：选C.假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.3．否定结论“自然数a、b、c中恰有一个

2、偶数”时，正确的反设为(　　)A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个偶数D．a、b、c都是奇数或至少有两个偶数解析：选D.自然数a、b、c中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．剔出结论即为反设．4．设x>0，则方程x＋＝2sinx的根的情况是(　　)A．有实根　　　　　　　　　　B．无实根C．恰有一实根D．无法确定解析：选B.x>0时，x＋≥2，而2sinx≤2，但此二式中“＝”不可能同时取得，所以x＋＝2sinx无实根．5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，

3、c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于25解析：选C.若a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6①，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6②，显然①，②矛盾，所以C正确．6．在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时的假设为________________．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP7．用反证法

4、证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立．②所以一个三角形中不能有两个直角．③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的排列为________．解析：反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的．答案：③①②8．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时假设应为________．解析：“至少有一个”

5、的否定为“一个也没有”，故假设应为“x，y均不大于1”(或x≤1且y≤1)．答案：x，y均不大于1”(或x≤1且y≤1)9．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围．解：设三个方程均无实数根，则有解得即－＜a＜－1，所以当a≥－1或a≤－时，三个方程至少有一个方程有实根．10．证明：对于直线l：y＝kx＋1.不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax(a为常数)对称．5证明：假设存在实数k，使得A、B关于

6、直线y＝ax对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(1)直线l：y＝kx＋1与直线y＝ax垂直；(2)点A、B在直线l：y＝kx＋1上；(3)直线AB的中点在直线y＝ax上，所以由得(3－k2)x2－2kx－2＝0.④由②③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2,⑤由④知x1＋x2＝，代入⑤整理得ak＝3.这与①矛盾．所以假设不成立，故不存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称．[B　能力提升]11．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2.其中能推出“a，b中至少有一个

7、大于1”的条件是________(填序号)．解析：若a＝，b＝，则a＋b＝1，但a＜1，b＜1，故①不能推出．若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出．若a＝－2，b＝1，则a2＋b2＞2，故④不能推出．对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案：③12．若a、b、c、d都是有理数，、都是无理数，且a＋＝b＋，则a与b，c与d之间的数量关系为__________，________．解析：假设a≠b，令a＝b＋m(m是不等于零

8、的有理数)，于是b＋m＋＝b＋，所以m＋＝，两边平方整理得＝.左边是无理数，右边是有理数，矛盾，因此a＝b，从而c＝d.答案：a＝b　c＝d13．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴