2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.2.2反证法讲义新人教B版

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1、2.2.2　反证法学习目标核心素养1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点)2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点)通过反证法的学习，提升学生的逻辑推理素养.反证法1．反证法的定义由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．常见的几种矛盾(1)与假设矛盾；(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．(　　)(2)反

2、证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．(　　)(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是(　　)A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°[解析]　根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60°.[答案]　B3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，

3、则应假设__________．[解析]　∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．[答案]　b与c平行或相交利用反证法证明否定性命题【例1】　(1)用反证法证明：“若方程ax2＋bx＋c＝0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为(　　)A．整数　　　　　　B．奇数或偶数C．自然数或负整数D．正整数或负整数(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．[解析]　(1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选A.[答案]　A(2

4、)证明：假设，，成等差数列，则＋＝2，即a＋c＋2＝4b.又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝，所以a＋c＋2＝4，所以a＋c－2＝0，即(－)2＝0，所以＝，从而a＝b＝c，所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾．原假设错误，故，，不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．反证法证明问题的一般步骤1．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．求证：数列{Sn}不是等比

5、数列．[证明]　假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾．所以数列{Sn}不是等比数列．利用反证法证明存在性命题【例2】　已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.[思路探究]　“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”．[解]　假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.∵a，b，c∈(0,1)，∴1－a>0,1－b>0,1－c>0.∴≥>＝.同理>，>.三式相加

6、得＋＋>，即>，矛盾．所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：2．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．[证明]　假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1．又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾，所以a，b，c，

7、d中至少有一个是负数.利用反证法证明唯一性命题[探究问题]反证法解题的实质是什么？提示：否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确．【例3】　已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面．[思路探究]　“有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑．[解]　因为a∥b，所以过a，b有一个平面α.又因为m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又因为A∈m，B∈m，所以m⊂α，即过a，b，m有一个平面α，如图．假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂

8、β，b⊂β