2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.1.2演绎推理学案新人教B版选修1_2

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1、2.1.2 演绎推理学习目标核心素养1.理解演绎推理的意义.(重点)2.掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.(难点)3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.(易混点)通过学习演绎推理及利用演绎推理证明数学问题,提升学生的逻辑推理素养.一、演绎推理1.含义由概念的定义或一些真命题,依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程,叫做演绎推理.2.特点当前提为真时,结论必然为真.二、三段论一般模式常用格式大前提已知的一般性原理M是P小前提所研究的特殊对象S是M结论根据一般性原理,对特殊对象做出的判断S是P1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)演绎推理

2、一般模式是“三段论”形式.(  )(2)演绎推理的结论是一定正确的.(  )(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.(  )[解析] (1)正确.演绎推理一般模式是“三段论”形式,即大前提、小前提和结论.(2)错误.在演绎推理中,只有“大前提”“小前提”及推理形式都正确的情况下,其结论才是正确的.(3)错误.演绎推理是由一般到特殊的推理.[答案] (1)√ (2)× (3)×2.锐角三角形ABC中,求证sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.[证明] ∵△ABC为锐角三角形,∴A+B>,∴A>-B.∵y=sinx在上是增函数,∴sinA>sin

3、=cosB.同理可得sinB>cosC,sinC>cosA,∴sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.把演绎推理写成三段论的形式【例1】 将下列演绎推理写成三段论的形式.(1)一切奇数都不能被2整除,75不能被2整除,所以75是奇数.(2)三角形的内角和为180°,Rt△ABC的内角和为180°.(3)菱形的对角线互相平分.(4)通项公式为an=3n+2(n≥2)的数列{an}为等差数列.[思路探究] 三段论推理是演绎推理的主要模式,推理形式为“如果b⇒c,a⇒b,则a⇒c.”其中,b⇒c为大前提,提供了已知的一般性原理;a⇒b为小前提,提供了一个

4、特殊情况;a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果.[解] (1)一切奇数都不能被2整除.(大前提)75不能被2整除.(小前提)75是奇数.(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt△ABC是三角形.(小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论)(3)平行四边形的对角线互相平分.(大前提)菱形是平行四边形.(小前提)菱形的对角线互相平分.(结论)(4)数列{an}中,如果当n≥2时,an-an-1为常数,则{an}为等差数列.(大前提)通项公式an=3n+2,n≥2时,an-an-1=3n+2-[3(n-1)+2]=3(常数).(小前提)通项公式为an

5、=3n+2(n≥2)的数列{an}为等差数列.(结论)1.三段论推理的根据,从集合的观点来讲,若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性质P.2.演绎推理最常用的模式是三段论,在大前提和小前提正确,推理形式也正确时,其结论一定是正确的.1.(1)三段论:“①只有船准时起航,才能准时到达目的港,②这艘船是准时到达目的港的,③这艘船是准时起航的”中的“小前提”是(  )A.①B.②  C.①②  D.③(2)将推断“若两个角是对顶角,则这两个角相等,所以若∠1和∠2是对顶角,则∠1和∠2相等”改写三段论的形式.[解析] (1)大前提为①,小前提

6、为③,结论为②.[答案] D(2)两个角是对顶角,则这两个角相等,(大前提)∠1和∠2是对顶角,(小前提)∠1和∠2相等.(结论)演绎推理的应用【例2】 证明f(x)=x3+x在R上为增函数,并指出证明过程中所运用的“三段论”.[思路探究] 可利用函数单调性定义证明.[解] 在R上任取x1,x2,且x10.因为f(x)=x3+x,所以f(x2)-f(x1)=(x+x2)-(x+x1)=(x-x)+(x2-x1)=(x2-x1)(x+x2x1+x+1)=(x2-x1)·,因为2+x+1>0,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),

7、所以f(x)=x3+x在R上是增函数.在证明过程中所用到的“三段论”:大前提是“增函数的定义”,小前提是“题中的f(x)经过正确的推理满足增函数的定义”,结论是“f(x)是增函数”.1.应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,但为了叙述的简洁,如果前提是显然的,则可以省略.2.数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理,即一连串的三段论,关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提,注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.2.如图所示,D,E,F分别是BC,CA,AB边上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA,求证:DE=AF.写出“三段论

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