2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.1.2演绎推理学案新人教B版选修1_2

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1、2.1.2　演绎推理学习目标核心素养1．理解演绎推理的意义．(重点)2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．(难点)3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．(易混点)通过学习演绎推理及利用演绎推理证明数学问题，提升学生的逻辑推理素养.一、演绎推理1．含义由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，叫做演绎推理．2．特点当前提为真时，结论必然为真．二、三段论一般模式常用格式大前提已知的一般性原理M是P小前提所研究的特殊对象S是M结论根据一般性原理，对特殊对象做出的判断S是P1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)演绎推理

2、一般模式是“三段论”形式．(　　)(2)演绎推理的结论是一定正确的．(　　)(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．(　　)[解析]　(1)正确．演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提、小前提和结论．(2)错误．在演绎推理中，只有“大前提”“小前提”及推理形式都正确的情况下，其结论才是正确的．(3)错误．演绎推理是由一般到特殊的推理．[答案]　(1)√　(2)×　(3)×2．锐角三角形ABC中，求证sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.[证明]　∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B>，∴A>－B.∵y＝sinx在上是增函数，∴sinA>sin

3、＝cosB.同理可得sinB>cosC，sinC>cosA，∴sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.把演绎推理写成三段论的形式【例1】　将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.(3)菱形的对角线互相平分．(4)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．[思路探究]　三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c.”其中，b⇒c为大前提，提供了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，提供了一个

4、特殊情况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．[解]　(1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论)(3)平行四边形的对角线互相平分．(大前提)菱形是平行四边形．(小前提)菱形的对角线互相平分．(结论)(4)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列．(大前提)通项公式an＝3n＋2，n≥2时，an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)通项公式为an

5、＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．(结论)1．三段论推理的根据，从集合的观点来讲，若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.2．演绎推理最常用的模式是三段论，在大前提和小前提正确，推理形式也正确时，其结论一定是正确的．1．(1)三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”中的“小前提”是(　　)A．①B．②　　C．①②　　D．③(2)将推断“若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若∠1和∠2是对顶角，则∠1和∠2相等”改写三段论的形式．[解析]　(1)大前提为①，小前提

6、为③，结论为②.[答案]　D(2)两个角是对顶角，则这两个角相等，(大前提)∠1和∠2是对顶角，(小前提)∠1和∠2相等．(结论)演绎推理的应用【例2】　证明f(x)＝x3＋x在R上为增函数，并指出证明过程中所运用的“三段论”．[思路探究]　可利用函数单调性定义证明．[解]　在R上任取x1，x2，且x10.因为f(x)＝x3＋x，所以f(x2)－f(x1)＝(x＋x2)－(x＋x1)＝(x－x)＋(x2－x1)＝(x2－x1)(x＋x2x1＋x＋1)＝(x2－x1)·，因为2＋x＋1>0，所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，

7、所以f(x)＝x3＋x在R上是增函数．在证明过程中所用到的“三段论”：大前提是“增函数的定义”，小前提是“题中的f(x)经过正确的推理满足增函数的定义”，结论是“f(x)是增函数”．1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．2．数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提．2．如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论