2019_2020学年高中数学第3章推理与证明章末复习课学案北师大版选修

《2019_2020学年高中数学第3章推理与证明章末复习课学案北师大版选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第3章推理与证明归纳推理【例1】　(1)观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，由此可归纳出的式子为(　　)A．1＋＋＋…＋

2、，可得1＋＋＋…＋<.故选C.(2)用两点等分单位圆时，关系为sinα＋sin(π＋α)＝0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为(π＋α)－α＝π，用三点等分单位圆时，关系为sinα＋sin＋sin＝0，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有－＝－α＝.依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角为＋α＝＋α，第三个角为＋α＋＝π＋α，第四个角为π＋α＋＝＋α，即其关系为sinα＋sin＋sin(α＋π)＋sin＝0.]归纳推理的

3、特点及一般步骤1．已知函数y＝sin4x＋cos4x(x∈R)的值域是，则(1)函数y＝sin6x＋cos6x(x∈R)的值域是__________；(2)类比上述结论，函数y＝sin2nx＋cos2nx(n∈N＋)的值域是_______．(1)　(2)[21－n,1]　[(1)y＝sin6x＋cos6x＝(sin2x＋cos2x)(sin4x－sin2xcos2x＋cos4x)＝sin4x－sin2xcos2x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－3sin2xcos2x＝1－sin22x＝1－(1－cos4x)＝＋cos4x∈.(2)由类比可知，y＝

4、sin2nx＋cos2nx的值域是[21－n,1]．]类比推理【例2】　类比三角形内角平分线定理：设△ABC的内角A的平分线交BC于点M，则＝.若在四面体P－ABC中，二面角BPAC的平分面PAD交BC于点D，你可得到什么结论？并加以证明．[思路点拨]　此题是平面图形与立体图形作类比，因为平面图形中得出的结论是线段的比，所以立体图形中可想到面积的比．[解]　画出相应图形，如图所示．由题意类比推理所探索结论为＝.证明如下：由于平面PAD是二面角BPAC的平分面，所以点D到平面BPA与它到平面CPA的距离相等，所以＝，①又因为＝＝，②由①②知＝成立．类比推理的特

5、点及一般步骤2．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，则在立体几何中，给出四面体相应结论的猜想．[解]　直角三角形类比三个侧面两两垂直的四面体；直角三角形的两个锐角类比上述四面体的三个侧面与底面所成的角，分别设为α，β，γ；类比直角三角形中相应的结论猜想cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.演绎推理【例3】已知平面α∥平面β，直线l⊥α，l∩α＝A，如图所示，求证：l⊥β.[思路点拨]　分别确定大前提、小前提，利用演绎推理的方法证明．[解]　在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面．设γ∩α＝a.①如果两个平行平面

6、同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，(大前提)α∥β，且α∩γ＝a，β∩γ＝b，(小前提)所以a∥b.(结论)②如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，(大前提)且l⊥α，a⊂α，(小前提)所以l⊥a.(结论)③如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条垂直，(大前提)a∥b，且l⊥a，(小前提)所以l⊥b.(结论)④如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直，(大前提)因为l⊥b，且直线b是平面β内的任意一条直线，(小前提)所以l⊥β.(结论)演绎推理的形式及应用1．三段论推

7、理的根据，从集合的观点来讲，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.2．在几何证明题中，每一步实际上都暗含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，把一般性原理用于特殊情况，从而得到结论．3．如图，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD.[证明]　因为CD⊥AB，所以∠ADC＝∠BDC＝90°.所以∠A＋∠ACD＝∠B＋∠BCD＝90°.所以∠A－∠B＝∠BCD－∠ACD.在△ABC中，因为AC>BC，所以∠B>∠A，即∠A－∠B<0，所以∠BCD－∠ACD<0，所以∠ACD>∠BCD

8、.综合法与分析法【例4】　设a>0，b>0，a＋b＝