变换的复合与矩阵的乘法 教师版

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1、变换的复合与矩阵的乘法【知识网络】1、通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。2、变换的复合——二阶方阵的乘法。3、通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律与消去律，验证二阶方阵乘法满足结合律。【典型例题】（2）关于矩阵乘法下列说法中正确的是()A、不满足交换律,但满足消去律B、不满足交换律和消去律C、满足交换律不满足消去律D、满足交换律和消去律答案：B。解析：矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律。（3）A、B、C、D、答案：A。解析：。（4）若=，则。（大小关系）答案：x0.7

2、8。（5）设A=，则A6=。答案：。解析：A=，∴A6=例2：已知矩阵，向量求。答案：∵M=，∴M2=，∴M3=M2M=，∴M3例3：设A=，E=，，求使An=E的最小正整数n的值。答案：An=∴,又因为，所以当时，。例4：求出曲线依次经过矩阵A=，B=作用下变换得到的曲线方程。答案：由已知AB==任取曲线上一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为，则有故，∵P在曲线上，∴，因此，从而曲线在矩阵AB作用下变成椭圆。【课内练习】1．若，则a的值为（）A、B、C、D、答案：D。解析：由矩阵的乘法法则知。2．已知A=，B=，P=，则矩阵ABP表示的几何意义是（）A、点对x轴反射后，再绕原点逆时针旋

3、转α角所得的坐标B、点对y轴反射后，再绕原点逆时针旋转α角所得的坐标C、点绕原点逆时针旋转α角后，再对x轴反射所得的坐标D、点绕原点逆时针旋转α角后，再对y轴反射所得的坐标答案：A。解析：矩阵乘法不满足交换律，故首先排除C、D选项，矩阵B把点P变换为关于x轴对称的点。3．设，则n的最小值为（）A、3B、6C、9D、12答案：D。解析：∵，即，又，∴n的最小值为12。4．将点(2,4)先经矩阵变换后，再绕原点逆时针旋转90°角所得的点坐标为答案：。解析：由题意知。5．设A=，B=，若AB=BA，则k=。答案：3。解析：AB=，BA=，由AB=BA知k=3。6．将坐标平面上的一个图形先将其横坐

4、标伸长到原来的2倍，纵坐标变为原来的一半，然后对它做关于y轴对称的变换，再将它做关于直线y=x对称的变换，则如此平面变换所对应的二阶变换矩阵为。答案：。解析：由题意知，所求的二阶变换矩阵为：A=。7．若矩阵A=把直线变换成另一直线，则a=,b=。答案：0;—1。解析：取上两点(0,7)和（3.5,0），则，，由已知在上，代入得a=0,b=—1。8．求证，并从几何变换的角度给予解释。证明：左边=，右边=，故等式成立。从几何变换的角度看，表示的是先作的伸压变换，再作的投影变换；而表示的是先作的反射变换，再作的投影变换，上述两组复合变换表示的几何变换结果相同。10．已知曲线，将它绕坐标原点逆时针

5、旋转45°角后，再在矩阵作用下变换得到什么曲线？曲线方程是什么？答案：由已知，复合变换矩阵为M=任取曲线上一点，它在TM的作用下变为，则有，故，即，∵P在曲线上，∴，因此，即，从而曲线在TM作用下变为双曲线，曲线方程为。【作业本】A组1．点通过矩阵和的变换效果相当于另一变换是()A.B.C.D.答案：D。4．已知A=，则An=（）。答案：An=。5．将向量依序作如下变换：①横、纵坐标分别缩短到原来的；②绕原点顺时针旋转45°；③沿x轴方向移到y的4倍，所到向量为解析：由题意知=。6．根据下列条件求X,根据两题的结果，指出你认为正确的一个结论①X=②X=答案：①X===②X===∵≠结论：矩

6、阵乘法不满足交换律。7．两个矩阵的乘法的几何意义是对应变换的复合，反过来，可以对平面中的某些几何变换进行简单的分解。你能根据如图所示变换后的图形进行分解，从而知道它是从原来图形经过怎样的复合变换过来的吗？（1）（2）8．设矩阵F=表示四边形ABCD，M=，四边形ABCD经过TM作用后得到的新四边形对应的矩阵F′=MF，求新四边形的面积。B组1．设A、B、C都是二阶矩阵，下列叙述恒成立的是（）A、若AB=C，则BA=CB、若AC=BC，则A=BC、若AB=0，则A=0或B=0D、若（AB）C=E，则A（BC）=E答案：D。解析：根据矩阵求法的运算律知。2．若矩阵A将一点P先对直线作反射变换，

7、再向y轴作投影变换，则矩阵A为（）A、B、C、D、答案：C。解析：A=。3．设圆先绕原点逆时针旋转30°后，再对直线作反射则所得的图形的方程为（）A、B、C、D、答案：A。解析：由已知，变换对应的矩阵为M=∴M，即圆心C经变换后得到的点坐标为(0,2)。4．已知△ABC，A(0,0),B(2,0),C(1,2)对它先作M=对应的变换，再作N=对应的变换，则变换作用后所得图形的面积为_________.答案：12。解析：变