变换复合与矩阵乘法

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1、本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn26.3变换的复合与矩阵的乘法【知识网络】1、通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。2、变换的复合——二阶方阵的乘法。3、通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律与消去律，验证二阶方阵乘法满足结合律。【典型例题】例1：（1）结果是()A、B、C、D、答案：A。解析：根据矩阵乘法的法则。（2）关于矩阵乘法下列说法中正确的是()A、不满足交换律,但满足消去律B、不满足交换律和消去律C、满足交换律不满足消去律D、满足交换律和消去律答案：B。解析：矩阵乘法满足结合

2、律，但不满足交换律和消去律。（3）()A、B、C、D、答案：A。解析：。（4）若=，则。答案：x0.7

3、为，则有故，∵P在曲线上，∴，因此，从而曲线在矩阵AB作用下变成椭圆。【课内练习】1．若，则a的值为（）A、B、C、D、答案：D。解析：由矩阵的乘法法则知。2．已知A=，B=，P=，则矩阵ABP表示的几何意义是（）A、点对x轴反射后，再绕原点逆时针旋转α角所得的坐标B、点对y轴反射后，再绕原点逆时针旋转α角所得的坐标C、点绕原点逆时针旋转α角后，再对x轴反射所得的坐标D、点绕原点逆时针旋转α角后，再对y轴反射所得的坐标答案：A。解析：矩阵乘法不满足交换律，故首先排除C、D选项，矩阵B把点P变换为关于x轴对称的点。3．设，则n的最小值为（

4、）A、3B、6C、9D、12答案：D。解析：∵，即，又，∴n的最小值为12。4．将点(2,4)先经矩阵变换后，再绕原点逆时针旋转90°角所得的点坐标为答案：。解析：由题意知。5．设A=，B=，若AB=BA，则k=。答案：3。解析：AB=，BA=，由AB=BA知k=3。6．将坐标平面上的一个图形先将其横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标变为原来的一半，然后对它做关于y轴对称的变换，再将它做关于直线y=x对称的变换，则如此平面变换所对应的二阶变换矩阵为。答案：。解析：由题意知，所求的二阶变换矩阵为：A=。7．若矩阵A=把直线变换成另一直线，则a=

5、,b=。答案：0;—1。解析：取上两点(0,7)和（3.5,0），则，，由已知在上，代入得a=0,b=—1。8．求证，并从几何变换的角度给予解释。证明：左边=，右边=，故等式成立。从几何变换的角度看，表示的是先作的伸压变换，再作的投影变换；而表示的是先作的反射变换，再作的投影变换，上述两组复合变换表示的几何变换结果相同。9．设A=，B=，计算AB与BA。答案：AB=，BA=。10．已知曲线，将它绕坐标原点逆时针旋转45°角后，再在矩阵作用下变换得到什么曲线？曲线方程是什么？答案：由已知，复合变换矩阵为M=任取曲线上一点，它在TM的作用下

6、变为，则有，故，即，∵P在曲线上，∴，因此，即，从而曲线在TM作用下变为双曲线，曲线方程为。【作业本】A组1．点通过矩阵和的变换效果相当于另一变换是()A.B.C.D.答案：D。2．A=，B=，则AB=（）A、B、C、D、答案：C。解析：AB=。3．设矩阵A=，B=，CA=B，则矩阵C=（）A、B、C、D、答案：D。解析：∵，∴，∴。4．已知A=，则An=（）。答案：An=。5．将向量依序作如下变换：①横、纵坐标分别缩短到原来的；②绕原点顺时针旋转45°；③沿x轴方向移到y的4倍，所到向量为答案：。解析：由题意知=。6．根据下列条件求X

7、,根据两题的结果，指出你认为正确的一个结论①X=②X=答案：①X===②X===∵≠结论：矩阵乘法不满足交换律。7．两个矩阵的乘法的几何意义是对应变换的复合，反过来，可以对平面中的某些几何变换进行简单的分解。你能根据如图所示变换后的图形进行分解，从而知道它是从原来图形经过怎样的复合变换过来的吗？（1）（2）答案：（1）可以看作是矩形OABC先作一次伸压变换，对应的矩阵，再作绕原点逆时针旋转90°角的旋转变换，对应的矩阵为。（2）可以看做是△OAB先作一次伸压变换，对应的矩阵，再作一次伸压变换，对应的矩阵为。8．设矩阵F=表示四边形ABC

8、D，M=，四边形ABCD经过TM作用后得到的新四边形对应的矩阵F′=MF，求新四边形的面积。答案：由M可知选对四边形ABCD绕原点逆时针旋转90°，再横、纵坐标分别伸长到原来的3倍和2倍，再进行切变变换。在