2019_2020学年高中数学课时分层作业8空间向量的运算（含解析）北师大版

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1、课时分层作业(八)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知正方形ABCD的边长为1，设＝a，＝b，＝c，则

2、a＋b＋c

3、等于(　　)A．0　　　　　　　　B．3C．2＋D．2D　[利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，

4、a＋b＋c

5、＝2

6、

7、＝2.]2．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于(　　)A．B．3C．3D．2B　[－＋＝－(－)＝－＝＋＝＋2＝3.]3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则＝(　　)A．i＋j＋kB.i＋j＋kC．3i＋2j＋5kD．3i＋2j－5kC　[＝

8、＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k.]4．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值是(　　)A.B.C．－D．0D　[cos〈，〉＝＝＝＝0，选D.]5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③与的夹角为60°.其中正确命题的个数是(　　)A．1个B．2个C．3个D．0个B　[根据数量积的定义知：①②正确，与的夹角为120°，∴③不正确，故选B.]二、填空题6．在正方体ABCDA1B1C1D1中，化简向量表达式－＋－的结果为________．2　[－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝2.]7．如图，在四面体OAB

9、C中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．a＋b＋c　[＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.]8．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则·＝________．a2　[·＝·＝

10、

11、·

12、

13、·cos〈，〉＝a×a×cos60°＝a2.]三、解答题9．如图，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．[证明]　∵E、H分别是AB、AD的中点，∴＝，＝，＝－＝－＝(－)＝＝(－)＝＝(－)＝，∴∥且

14、

15、＝

16、

17、≠

18、

19、.又F不在EH上，∴四边形EFGH是梯形

20、．10．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：(1)·；(2)·；(3)·；(4)B·.[解]　(1)·＝·＝

21、

22、·

23、

24、·cos〈，〉＝×1×1×cos60°＝，所以·＝.(2)·＝

25、

26、·

27、

28、·cos〈，〉＝×1×1×cos0°＝，所以·＝.(3)·＝·＝

29、

30、·

31、

32、·cos〈，〉＝×1×1×cos120°＝－，所以·＝－.(4)·＝(＋)·(＋)＝[·(－)＋·(－)＋·＋·]＝[－·－·＋(－)·＋·]＝＝－.[能力提升练]1．如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90

33、°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为(　　)A.B.C.D.B　[∵＝＋＋，∴

34、

35、＝＝.∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∴〈，〉＝90°，〈，〉＝〈，〉＝60°，∴

36、

37、＝＝.]2．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝·＝·＝0，则△BCD为(　　)A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定B　[＝＋，＝＋，＝＋，∴cos〈，〉＝＝＞0，∴〈，〉为锐角，同理cos〈，〉＞0，∴∠BCD为锐角，cos〈，〉＞0，∴∠BDC为锐角，即△BCD为锐角三角形．]3．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，

38、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则直线a与b所成的角是________．60°　[直线a的方向向量是，直线b的方向向量是，因为·＝(＋＋)·＝＝1，所以cos〈，〉＝＝，所以〈，〉＝60°，所以直线a与b所成的角是60°.]4．如图，在45°的二面角αlβ的棱上有两点A、B，点C、D分别在α、β内，且AC⊥AB，∠ABD＝45°，AC＝BD＝AB＝1，则CD的长度为________．　[由＝＋＋，cos〈，〉＝cos45°cos45°＝，∴〈，〉＝60°.∴

39、

40、2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝3＋2×(0＋1×1×cos135°＋1×1×cos120°)＝2

41、－，∴

42、

43、＝.]5．如图，正方形ABCD与正方形ABEF边长均为1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜)．(1)求MN的长度；(2)当a为何值时，MN的长最小．[解]　(1)由已知得

44、

45、＝，

46、

47、＝

48、

49、＝a.＝，＝，∴＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋＋＝(＋)－＋(－＋)＝＋，

50、

51、＝＝＝＝(0＜a＜)．(2)由(1)知当a＝时，

52、

53、的最小值为，即M，N分别是AC，BF的中点时，MN的长最小，最小值为.