高三数学（文）一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练51 Word版含解析

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1、课时跟踪训练(五十一)【基础巩固】一、选择题1、(2017·江西九江一模)若双曲线mx2＋2y2＝2的虚轴长为4,则该双曲线的焦距为(　　)A、2B.C、2D.【解析】　双曲线方程为y2－＝1,∴－＝4,∴m＝－,双曲线的焦距为2,故选A.【答案】　A2、(2017·全国卷Ⅱ)若a>1,则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)A、(,＋∞)B、(,2)C、(1,)D、(1,2)【解析】　依题意得,双曲线的离心率e＝,因为a>1,所以e∈(1,),选C.【答案】　C3、(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－

2、＝1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为(　　)A.B.C.D.【解析】　解法一：由题可知,双曲线的右焦点为F(2,0),当x＝2时,代入双曲线C的方程,得4－＝1,解得y＝±3,不妨取点P(2,3),因为点A(1,3),所以AP∥x轴；又PF⊥x轴,所以AP⊥PF,所以S△APF＝

3、PF

4、·

5、AP

6、＝×3×1＝.故选D.解法二：由题可知,双曲线的右焦点为F(2,0),当x＝2时,代入双曲线C的方程,得4－＝1,解得y＝±3,不妨取点P(2,3),因为点A(1,3),所以

7、＝(1,0),＝(0,－3),所以·＝0,所以AP⊥PF,所以S△APF＝

8、PF

9、

10、AP

11、＝×3×1＝.故选D.【答案】　D4、(2017·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D、x2－＝1【解析】　由△OAF是边长为2的等边三角形可知,c＝2,＝tan60°＝,又c2＝a2＋b2,联立可得a＝1,b＝,∴双曲线的方程为x2－＝1.【答案】　D5、(2018·广东六校联盟联考

12、)设F1,F2是双曲线x2－＝1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3

13、PF1

14、＝4

15、PF2

16、,则△PF1F2的面积等于(　　)A、4B、8C、24D、48【解析】　依题意,得F1(－5,0),F2(5,0),

17、F1F2

18、＝10.∵3

19、PF1

20、＝4

21、PF2

22、,设

23、PF2

24、＝x,则

25、PF1

26、＝x.由双曲线的性质知x－x＝2,解得x＝6.∴

27、PF1

28、＝8,

29、PF2

30、＝6,∴∠F1PF2＝90°,∴△PF1F2的面积＝×8×6＝24.故选C.【答案】　C6、(2016·天津卷)已知双曲线－＝1(b>0),以原点为圆心,双曲线的

31、实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1【解析】　根据对称性,不妨设点A在第一象限,其坐标为(x,y),于是有⇒则xy＝·＝⇒b2＝12.故所求双曲线的方程为－＝1,故选D.【答案】　D二、填空题7、若双曲线的渐近线方程为x±2y＝0,焦距为10,则该双曲线的方程为__________、【解析】　设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0),焦距2c＝10,c2＝25,当λ>0时,－＝1,λ＋＝25,∴λ

32、＝20；当λ<0时,－＝1,－λ＋＝25,∴λ＝－20.故该双曲线的方程为－＝1或－＝1.【答案】　－＝1或－＝18、(2018·银川第二中学月考)若以双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点和点P(1,)为顶点的三角形为直角三角形,则b等于__________、【解析】　设双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点为F1(－c,0),F2(c,0),依题意,kPF1·kPF2＝·＝－1,∴c2＝3,b2＝1,∴b＝1.【答案】　19、(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆

33、A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点、若∠MAN＝60°,则C的离心率为________、【解析】　双曲线的右顶点为A(a,0),一条渐近线的方程为y＝x,即bx－ay＝0,圆心A到此渐近线的距离d＝＝,因为∠MAN＝60°,圆的半径为b,所以b·sin60°＝,即＝,所以e＝＝.【答案】　三、解答题10、如图,已知F1、F2为双曲线－＝1(a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2＝30°.求：(1)双曲线的离心率；(2)双曲线的渐近线方程、【解】　(1)∵∠PF2F1＝9

34、0°,∠PF1F2＝30°.在Rt△PF2F1中,

35、PF1

36、＝＝＝,

37、PF2

38、＝

39、PF1

40、＝,又

41、PF1

42、－

43、PF2

44、＝2a,即c＝2a,＝,∴e＝＝.(2)对于双曲线,有c2＝a2＋b2,∴b＝.∴＝＝＝＝.∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.【能力提升】11、(2017·广东佛山一中段考)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1,F