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时间:2019-10-28
《高考数学坐标系与参数方程1第1讲坐标系练习理(含解析)(选修4_4)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第1讲坐标系[基础题组练]1.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得到曲线C.(1)求曲线C的标准方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程.解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点(x,y),依题意,得由x+y=1,得x2+=1,即曲线C的标准方程为x2+=1.(2)由解得或不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线的斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=,化为极坐标方程,
2、并整理得2ρcosθ-4ρsinθ=-3,故所求直线的极坐标方程为ρ=.2.在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.解:(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.(2)将θ=代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.故ρ1
3、-ρ2=,即
4、MN
5、=.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.3.(2019·湖南湘东五校联考)平面直角坐标系xOy中,倾斜角为α的直线l过点M(-2,-4),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ.(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与C交于A,B两点,且
6、MA
7、·
8、MB
9、=40,求倾斜角α的值.解:(1)直线l的参数方程为(t为参数),ρsin2θ=2cosθ,即ρ2sin2θ=2ρcosθ,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入曲线C的直角坐标方程得y2=2x.(2)把直线l的
10、参数方程代入y2=2x,得t2sin2α-(2cosα+8sinα)t+20=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,由一元二次方程根与系数的关系得,t1t2=,根据直线的参数方程中参数的几何意义,得
11、MA
12、·
13、MB
14、=
15、t1t2
16、==40,得α=或α=.又Δ=(2cosα+8sinα)2-80sin2α>0,所以α=.4.(2019·太原模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:(φ为参数),曲线C2:x2+y2-2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:θ=α(ρ≥0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O).(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;
17、(2)当0<α<时,求
18、OA
19、2+
20、OB
21、2的取值范围.解:(1)因为(φ为参数),所以曲线C1的普通方程为+y2=1.由得曲线C1的极坐标方程为ρ2=.因为x2+y2-2y=0,所以曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(2)由(1)得
22、OA
23、2=ρ2=,
24、OB
25、2=ρ2=4sin2α,所以
26、OA
27、2+
28、OB
29、2=+4sin2α=+4(1+sin2α)-4,因为0<α<,所以1<1+sin2α<2,所以6<+4(1+sin2α)<9,所以
30、OA
31、2+
32、OB
33、2的取值范围为(2,5).[综合题组练]1.(应用型)(2019·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程
34、为(α为参数),直线C2的方程为y=x.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程;(2)若直线C2与曲线C1交于A,B两点,求+.解:(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数),得曲线C1的普通方程为(x-2)2+(y-2)2=1,则C1的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+7=0,由于直线C2过原点,且倾斜角为,故其极坐标方程为θ=(ρ∈R)(tanθ=).(2)由得ρ2-(2+2)ρ+7=0,设A,B对应的极径分别为ρ1,ρ2,则ρ1+ρ2=2+2,ρ1ρ2=7,所以+===.2.在直角坐标系中,已知曲线M的参数方程为(
35、β为参数),在极坐标系中,直线l1的方程为α1=θ,直线l2的方程为α2=θ+.(1)写出曲线M的普通方程,并指出它是什么曲线;(2)设l1与曲线M交于A,C两点,l2与曲线M交于B,D两点,求四边形ABCD面积的取值范围.解:(1)由(β为参数),消去参数β,得曲线M的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=8,所以曲线M是以(1,1)为圆心,2为半径的圆.(2)设
36、OA
37、=ρ1,
38、OC
39、=ρ2,因为O,A,C三点共线,则
40、AC
41、=
42、ρ1-ρ2
43、= (*),将曲线M的
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