高考数学坐标系与参数方程1第1讲坐标系练习理（含解析）（选修4_4）

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1、第1讲坐标系[基础题组练]1．将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.(1)求曲线C的标准方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得由x＋y＝1，得x2＋＝1，即曲线C的标准方程为x2＋＝1.(2)由解得或不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率为k＝，于是所求直线方程为y－1＝，化为极坐标方程，

2、并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，故所求直线的极坐标方程为ρ＝.2．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1

3、－ρ2＝，即

4、MN

5、＝.由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.3．(2019·湖南湘东五校联考)平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ.(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且

6、MA

7、·

8、MB

9、＝40，求倾斜角α的值．解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，ρsin2θ＝2cosθ，即ρ2sin2θ＝2ρcosθ，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入曲线C的直角坐标方程得y2＝2x.(2)把直线l的

10、参数方程代入y2＝2x，得t2sin2α－(2cosα＋8sinα)t＋20＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由一元二次方程根与系数的关系得，t1t2＝，根据直线的参数方程中参数的几何意义，得

11、MA

12、·

13、MB

14、＝

15、t1t2

16、＝＝40，得α＝或α＝.又Δ＝(2cosα＋8sinα)2－80sin2α>0，所以α＝.4．(2019·太原模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(φ为参数)，曲线C2：x2＋y2－2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)．(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；

17、(2)当0<α<时，求

18、OA

19、2＋

20、OB

21、2的取值范围．解：(1)因为(φ为参数)，所以曲线C1的普通方程为＋y2＝1.由得曲线C1的极坐标方程为ρ2＝.因为x2＋y2－2y＝0，所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(2)由(1)得

22、OA

23、2＝ρ2＝，

24、OB

25、2＝ρ2＝4sin2α，所以

26、OA

27、2＋

28、OB

29、2＝＋4sin2α＝＋4(1＋sin2α)－4，因为0<α<，所以1<1＋sin2α<2，所以6<＋4(1＋sin2α)<9，所以

30、OA

31、2＋

32、OB

33、2的取值范围为(2，5)．[综合题组练]1．(应用型)(2019·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程

34、为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.解：(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R)(tanθ＝)．(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，所以＋＝＝＝.2．在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为(

35、β为参数)，在极坐标系中，直线l1的方程为α1＝θ，直线l2的方程为α2＝θ＋.(1)写出曲线M的普通方程，并指出它是什么曲线；(2)设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．解：(1)由(β为参数)，消去参数β，得曲线M的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8，所以曲线M是以(1，1)为圆心，2为半径的圆．(2)设

36、OA

37、＝ρ1，

38、OC

39、＝ρ2，因为O，A，C三点共线，则

40、AC

41、＝

42、ρ1－ρ2

43、＝　(*)，将曲线M的