2020版高考数学大一轮复习坐标系与参数方程第2讲参数方程分层演练理（含解析）新人教A版选修4_4

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1、第2讲参数方程1．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的参数方程为(t为参数，α为直线的倾斜角)．(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．解：(1)当α＝时，直线l的普通方程为x＝－1；当α≠时，直线l的普通方程为y＝(x＋1)tanα.由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，所以x2＋y2＝2x，即为曲线C的直角坐标方程．(2)

2、把x＝－1＋tcosα，y＝tsinα代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcosα＋3＝0.由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，所以cosα＝或cosα＝－，故直线l的倾斜角α为或.2．以极点为原点，以极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝10，曲线C′的参数方程为(α为参数)．(1)判断两曲线C和C′的位置关系；(2)若直线l与曲线C和C′均相切，求直线l的极坐标方程．解：(1)由ρ＝10得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝100，由得曲线C′的普通方程

3、为(x－3)2＋(y＋4)2＝25.曲线C表示以(0，0)为圆心，10为半径的圆；曲线C′表示以(3，－4)为圆心，5为半径的圆．因为两圆心间的距离5等于两圆半径的差，所以圆C和圆C′的位置关系是内切．(2)由(1)建立方程组解得可知两圆的切点坐标为(6，－8)，且公切线的斜率为，所以直线l的直角坐标方程为y＋8＝(x－6)，即3x－4y－50＝0，所以极坐标方程为3ρcosθ－4ρsinθ－50＝0.3．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0

4、，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝时，l与⊙O交于两点．当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.综上，α的取值范围是.(2)l的参数方程为(t为参数，＜α＜)．设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sin

5、α.又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是(α为参数，＜α＜)．4．(2019·陕西省高三教学质量检测试题(一))已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.(1)判断直线l与曲线C的位置关系；(2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．解：(1)直线l的普通方程为x－y＋4＝0.曲线C的直角坐标方程为＋＝1.圆心到直线x－y＋4＝0的距离d＝＝5>1，所以直线l与曲线

6、C的位置关系是相离．(2)设M，(θ为MC与x轴正半轴所成的角)则x＋y＝sin.因为0≤θ<2π，所以x＋y∈[－，]．5．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x2－2x＋y2＝0，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．(1)写出C的极坐标方程，并求l与C的交点M，N的极坐标；(2)设P是椭圆＋y2＝1上的动点，求△PMN面积的最大值．解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.直线l的直角坐标方程为y＝x.联

7、立方程组解得或所以点M，N的极坐标分别为(0，0)，.(2)由(1)易得

8、MN

9、＝.因为P是椭圆＋y2＝1上的动点，设P点坐标为(cosθ1，sinθ1)．则P到直线y＝x的距离d＝，所以S△PMN＝

10、MN

11、d＝××＝≤1，当θ1＝kπ－，k∈Z时，S△PMN取得最大值1.1．(2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴

12、正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．解：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．设P(x，y)，由题设得消去k得x2－y2＝4(y≠0)．所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．联立得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝，代入ρ2(