高考数学坐标系与参数方程2第2讲参数方程练习理（含解析）（选修4_4）

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1、第2讲参数方程[基础题组练]1．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．解：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．设P(x，y)，由题设得消去k得x2－y2＝4(y≠0)．所以C的普通方程为x2－

2、y2＝4(y≠0)．(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．联立得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝，代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为.2．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1

3、.当α＝时，l与⊙O交于两点．当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.综上，α的取值范围是.(2)l的参数方程为(t为参数，＜α＜)．设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是(α为参数，＜α＜)．3．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲

4、线C的极坐标方程为ρ＝2cos.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)已知直线l过点P(1，0)且与曲线C交于A，B两点，若

5、PA

6、＋

7、PB

8、＝，求直线l的倾斜角α.解：(1)由ρ＝2cos＝2(cosθ＋sinθ)⇒ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)⇒x2＋y2＝2x＋2y⇒(x－1)2＋(y－1)2＝2.故曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)由条件可设直线l的参数方程为(t为参数)，代入圆的方程，有t2－2tsinα－1＝0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝2sin

9、α，t1t2＝－1，

10、PA

11、＋

12、PB

13、＝

14、AB

15、＝

16、t1－t2

17、＝＝＝，解得sinα＝或sinα＝－(舍去)，故α＝或.4．(2019·合肥质检)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为ρ＝4sin.(1)写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；(2)若过点A(极坐标)且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求的值．解：(1)由题意可得曲线C的普通方程为＋＝1，将代入曲线C的普通方程可得，曲线C的极坐标方程为

18、＋＝1.因为曲线D的极坐标方程为ρ＝4sin，所以ρ2＝4ρsin＝4ρ，又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以x2＋y2＝2y－2x，所以曲线C的极坐标方程为＋＝1；曲线D的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0.(2)点A，则所以A(2，2)．因为直线l过点A(2，2)且倾斜角为，所以直线l的参数方程为(t为参数)，代入＋＝1可得，t2＋(8＋18)t＋16＝0，设M，N对应的参数分别为t1，t2，由一元二次方程根与系数的关系得，t1＋t2＝－，t1t2＝，所以＝＝.[综合题组练]1．(

19、2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＋4sinθ＝ρ.(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知点M在直角坐标系中的坐标为(2，2)，若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求

20、MA

21、·

22、MB

23、的值．解：(1)由消去参数t可得y＝(x－2)＋2，所以直线l的普通方程为x－y＋2－2＝0.因为ρsin2θ＋4sinθ＝ρ，所以ρ2sin2θ＋4ρsinθ＝ρ2.因为ρs

24、inθ＝y，ρ2＝x2＋y2，所以曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.(2)将代入抛物线方程x2＝4y中，可得(2＋t)2＝4(2＋t)，即t2＋(8－8)t－16＝0.因为Δ>0，且点M在直线l上，所以此方程的两个实数根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2，所以t1t2＝－16，所以

25、MA

26、·

27、MB

28、＝

29、t1t2

30、＝16.2．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴