2020版高考数学大一轮复习 坐标系与参数方程 第2讲 参数方程分层演练 文

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1、第2讲参数方程1．(2019·宝鸡质量检测(一))极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)．(1)求C的直角坐标方程；(2)直线l：(t为参数)与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点E，求

2、EA

3、＋

4、EB

5、.解：(1)由ρ＝2(cosθ＋sinθ)得ρ2＝2ρ(cosθ＋sinθ)，得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化简得t2－t－1＝0，点E对应的参数t＝0，设点A，B对应的

6、参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝1，t1t2＝－1，所以

7、EA

8、＋

9、EB

10、＝

11、t1

12、＋

13、t2

14、＝

15、t1－t2

16、＝＝.2．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)．(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且

17、AB

18、＝，求直线l的倾斜角α的值．解：(1)由ρ＝4cosθ，得(x－2)2＋y2＝4.(2)将代入圆的方程得(tcosα－1)2＋(tsinα)2＝4，化简得t2－2tcosα－3＝0，设A，B两点对应的参数分别为t

19、1，t2，则所以

20、AB

21、＝

22、t1－t2

23、＝＝＝，所以4cos2α＝2，cosα＝±，α＝或.3．(2016·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求

24、PQ

25、的最小值及此时P的直角坐标．解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1.C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cosα，sinα)．因为C2是直线，所以

26、PQ

27、的最小值即为P到C2的距

28、离d(α)的最小值，d(α)＝＝.当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.4．(2019·西安八校联考)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，θ∈[0，2π)．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：(t为参数)的距离最短，并求出点D的直角坐标．解：(1)由ρ＝2sinθ，θ∈[0，2π)，可得ρ2＝2ρsinθ.因为ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0(或x2＋(y－1)2＝

29、1.)(2)因为直线l的参数方程为(t为参数)，消去t得直线l的普通方程为y＝－x＋5.因为曲线C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0，1)为圆心、1为半径的圆，(易知C，l相离)设点D(x0，y0)，且点D到直线l：y＝－x＋5的距离最短，所以曲线C在点D处的切线与直线l：y＝－x＋5平行．即直线CD与l的斜率的乘积等于－1，即×(－)＝－1，又x＋(y0－1)2＝1，可得x0＝－(舍去)或x0＝，所以y0＝，即点D的坐标为.1．(2019·成都第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α(α≠)的直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正

30、半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ－4sinθ＝0.(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知点P(1，0)．若点M的极坐标为，直线l经过M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求

31、PQ

32、的值．解：(1)因为直线l的参数方程为(t为参数)，所以直线l的普通方程为y＝tanα·(x－1)．由ρcos2θ－4sinθ＝0得ρ2cos2θ－4ρsinθ＝0，即x2－4y＝0.所以曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.(2)因为点M的极坐标为，所以点M的直角坐标为(0，1)．所以tanα＝－1，直线l的倾斜角α＝.所以直线l

33、的参数方程为(t为参数)．代入x2＝4y，得t2－6t＋2＝0.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2.因为Q为线段AB的中点，所以点Q对应的参数值为＝＝3.又点P(1，0)，则

34、PQ

35、＝＝3.2．(2019·湘中名校联考)已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(θ为参数)．(1)设l与C1相交于A，B两点，求

36、AB

37、；(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离d的最小值．解：(1)l的普通方程为y＝(x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1，联立解得l与C1的交点坐标分别为(1