2020版高考数学一轮复习课后限时集训41空间向量的运算及应用理新人教版

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1、课后限时集训(四十一) 空间向量的运算及应用(建议用时:60分钟)A组 基础达标一、选择题1.在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是(  )A.垂直   B.平行C.异面D.相交但不垂直B [由题意得,=(-3,-3,3),=(1,1,-1),∴=-3,∴与共线,又与没有公共点,∴AB∥CD.]2.在空间直角坐标系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,

2、C,D四点共面,则(  )A.2x+y+z=1B.x+y+z=0C.x-y+z=-4D.x+y-z=0A [∵A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),∴=(0,1,-1),=(-2,2,2),=(x-1,y-1,z+2).∵A,B,C,D四点共面,∴存在实数λ,μ使得=λ+μ,即(x-1,y-1,z+2)=λ(0,1,-1)+μ(-2,2,2),∴解得2x+y+z=1,故选A.]3.如图所示,三棱锥OABC中,M,N分别是AB,OC的中点,设=a,=b

3、,=c,用a,b,c表示,则=(  )A.(-a+b+c)B.(a+b-c)C.(a-b+c)D.(-a-b+c)B [=+=(-)+=-+(-)=+-=(a+b-c).]4.在空间直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为A(2,1,-1),B(3,4,λ),C(2,7,1),若⊥,则λ=(  )A.3B.1C.±3D.-3C [由题知,=(1,3,λ+1),=(1,-3,λ-1),由⊥,可得·=0,即1-9+λ2-1=0,即λ2=9,λ=±3,故选C.]5.已知正四面体ABCD的棱长为1,且=2,=2,则

4、·=(  )A.B.C.-D.-D [因为=2,=2,所以EF∥BD,EF=BD,即=,则·=·=

5、

6、

7、

8、cos=-.故选D.]二、填空题6.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是________.垂直 [以A为原点,分别以,,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(图略),设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),M,O,N,·=·=0,∴ON与AM垂直.]7.已知平面α内的三点A(0,0,1),B(

9、0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量n=(-1,-1,-1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是________.α∥β [设平面α的法向量为m=(x,y,z),由m·=0,得x·0+y-z=0⇒y=z,由m·=0,得x-z=0⇒x=z,取x=1,∴m=(1,1,1),m=-n,∴m∥n,∴α∥β.]8.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ACD=90°,把△ADC沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,则BD的长为________.2或 [∵AB与CD成60°角,∴

10、〈,〉=60°或120°.又∵AB=AC=CD=1,AC⊥CD,AC⊥AB,∴

11、

12、=====,∴

13、

14、=2或.∴BD的长为2或.]三、解答题9.已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.(1)若

15、c

16、=3,且c∥,求向量c;(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.[解] (1)∵c∥,=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2),∴c=m=m(-2,-1,2)=(-2m,-m,2m),∴

17、c

18、==3

19、m

20、=3,∴m=±1.∴c=(-2,-1,2)或(2,

21、1,-2).(2)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2),∴a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1,又∵

22、a

23、==,

24、b

25、==,∴cos〈a,b〉===-,故向量a与向量b的夹角的余弦值为-.10.如图所示,四棱锥PABCD的底面为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点,求证:(1)PB∥平面EFH;(2)PD⊥平面AHF.[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0)

26、,P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),H(1,0,0).(1)∵E,H分别是线段AP,AB的中点,∴PB∥EH.∵PB⊄平面EFH,且EH⊂平面EFH,∴PB∥平面EFH.(2)=(0,2,-2),=(1,0,0),=(0,1,1),∴·=0×0+2×1+(-2)×1=0,·=0×1+2×0+(-2)×0=0.∴PD⊥AF,PD⊥AH.又∵AF∩AH=A,∴PD⊥平面AHF.B组 能力提升1.若

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