2020版高考数学一轮复习课后限时集训38空间向量的运算及应用含解析理.pdf

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1、课后限时集训(三十八)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直→→B[由题意得，AB＝(－3，－3,3)，CD＝(1,1，－1)，→→→→∴AB＝－3CD，∴AB与CD共线，→→又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD.]2．在空间直角坐标系中，A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，若A，B

2、，C，D四点共面，则()A．2x＋y＋z＝1B．x＋y＋z＝0C．x－y＋z＝－4D．x＋y－z＝0→A[∵A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，∴AB＝(0,1，→→－1)，AC＝(－2,2,2)，AD＝(x－1，y－1，z＋2)．→→→∵A，B，C，D四点共面，∴存在实数λ，μ使得AD＝λAB＋μAC，即(x－1，y－1，z＋2)＝λ(0,1，－1)＋μ(－2,2,2)，x－1＝－2μ，∴y－1＝λ＋2μ，解得2x＋y＋z＝1，故选A.]z＋2＝

3、－λ＋2μ，→→→3．如图所示，三棱锥OABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，→→用a，b，c表示NM，则NM＝()1A.(－a＋b＋c)21B.(a＋b－c)21C.(a－b＋c)21D.(－a－b＋c)2→→→→→→→→→→→→→1111111B[NM＝NA＋AM＝(OA－ON)＋AB＝OA－OC＋(OB－OA)＝OA＋OB－OC＝(a＋b－2222222c)．]4．在空间直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为A(2,1，－1)，B(3,4，λ)，C(2,7,1)，→→若AB⊥

4、CB，则λ＝()A．3B．1C．±3D．－3→→→→→→C[由题知，AB＝(1,3，λ＋1)，CB＝(1，－3，λ－1)，由AB⊥CB，可得AB·CB＝0，即1－9＋λ2－1＝0，即λ2＝9，λ＝±3，故选C.]→→→→→→5．已知正四面体ABCD的棱长为1，且AE＝2EB，AF＝2FD，则EF·DC＝()21A.B.3321C．－D．－33→→→→→→→→→→222D[因为AE＝2EB，AF＝2FD，所以EF∥BD，EF＝BD，即EF＝BD，则EF·DC＝BD·DC＝333→→22π1

5、BD

6、

7、DC

8、cos＝－.故

9、选D.]333二、填空题6.如图所示，在正方体ABCDABCD中，O是底面正方形ABCD的中心，M是DD的中点，11111N是AB的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．11→→→垂直[以A为原点，分别以AB，AD，AA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图1→→1111略)，设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M0,1，，O，，0，N，0，1，AM·ON＝2222110，1，·0，－，1＝0，∴ON与AM垂直．]227．已知平面α内的三点A(

10、0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．α∥β[设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，→由m·AB＝0，得x·0＋y－z＝0⇒y＝z，→由m·AC＝0，得x－z＝0⇒x＝z，取x＝1，∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.]8．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则BD的长为________．2或2[∵AB与

11、CD成60°角，→→∴〈BA，CD〉＝60°或120°.又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，→→→→→∴

12、BD

13、＝BD2＝BA＋AC＋CD2→→→→→→→→→＝BA2＋AC2＋CD2＋2BA·AC＋2AC·CD＋2BA·CD→→＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos〈BA，CD〉→→＝3＋2cos〈BA，CD〉，→∴

14、BD

15、＝2或2.∴BD的长为2或2.]三、解答题→→9．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB，b＝AC.→(1)若

16、c

17、＝3，且c∥BC，

18、求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．→→[解](1)∵c∥BC，BC＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，→∴c＝mBC＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，∴

19、c

20、＝－2m2＋－m2＋2m2＝3

21、m

22、＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,