2022届高考数学统考一轮复习课后限时集训45空间向量的运算及应用理含解析新人教版.doc

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1、课后限时集训(四十五)　空间向量的运算及应用建议用时：40分钟一、选择题1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于(　　)A．(0,3，－6)B．(0,6，－20)C．(0,6，－6)D．(6,6，－6)B　[由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．]2．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)A．－2B．－C．D．2D　[∵a⊥(a－λb)，∴a·(a－λb)＝0，即a2＝λa·b.又a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，∴a·b＝2

2、＋2＋3＝7，

3、a

4、＝＝.∴14＝7λ，∴λ＝2.故选D．]3．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　)A．B．C．D．D　[∵a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，∴a·b＝x＋2＝3.∴x＝1.∴

5、a

6、＝，

7、b

8、＝.∴cos〈a，b〉＝＝.又〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝.故选D．]4．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有6＝＋2＋3，则(　　)A．O，A，B，C四点共面B．P，A，B，C四点共面C．O，P，B，C四点共面D．O，P，A，B，C五点共面B　[由6＝＋2＋3，得－＝2(－)＋3(－)，即＝2＋3，故，，共

9、面，又它们有公共点P，因此，P，A，B，C四点共面，故选B．]5.如图所示，三棱锥OABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝(　　)A．(－a＋b＋c)B．(a＋b－c)C．(a－b＋c)D．(－a－b＋c)B　[＝＋＝(－)＋＝－＋(－)＝＋－＝(a＋b－c)．]6．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD是(　　)A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定C　[∵M为BC中点，∴＝(＋)，∴·＝(＋)·＝·＋·＝0.∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．]二、填空题7．在空间直角坐标

10、系中，A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，若A，B，C，D四点共面，则2x＋y＋z＝.1　[∵A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，∴＝(0,1，－1)，＝(－2,2,2)，＝(x－1，y－1，z＋2)．∵A，B，C，D四点共面，∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，即(x－1，y－1，z＋2)＝λ(0,1，－1)＋μ(－2,2,2)，∴解得2x＋y＋z＝1.]8．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为．　[如图建立空间直

11、角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，则易得＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，∴cos〈，〉＝＝－，∴sin〈，〉＝＝.]9．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是．①②③　[∵·＝0，·＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．又与不平行，∴是平面ABCD的法向量，则③正确．∵＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，∴与不平行，故④错误．]三、解答题10.如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC为等腰直角三

12、角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.[证明]　(1)建立如图所示的空间直角坐标系，令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．取AB的中点N，连接CN，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，所以＝(－2,4,0)，＝(－2,4,0)，所以＝，所以DE∥NC．又因为NC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，故DE∥平面ABC．(2)由(1)知＝(－2,2，－4)，＝(2，－2，－2)，＝(2,2,0)．

13、·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.所以⊥，⊥，即B1F⊥EF，B1F⊥AF，又因为AF∩FE＝F，所以B1F⊥平面AEF.11.如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD．证明：(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB．[证明]　(1)取BC的中点O，连接PO，因为平面PBC⊥底面ABCD，△PB