人教A版2020版新一线高考理科数学一轮复习课后限时集训41空间向量的运算及应用含解析

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1、课后限时集训(四十一)　空间向量的运算及应用(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)A．垂直　　　B．平行C．异面D．相交但不垂直B　[由题意得，＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)，∴＝－3，∴与共线，又与没有公共点，∴AB∥CD.]2．在空间直角坐标系中，A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，若A，B，C，D四点共面，则(　　)A．2x＋y＋z＝1B．x＋y＋z＝0C．x－y＋

2、z＝－4D．x＋y－z＝0A　[∵A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，∴＝(0,1，－1)，＝(－2,2,2)，＝(x－1，y－1，z＋2)．∵A，B，C，D四点共面，∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，即(x－1，y－1，z＋2)＝λ(0,1，－1)＋μ(－2,2,2)，∴解得2x＋y＋z＝1，故选A.]3．如图所示，三棱锥OABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝(　　)A.(－a＋b＋c)B.(a＋b－c)C.(a－b＋c)D.(－a－b＋c)B　[＝＋＝(－)＋＝－＋(－)＝＋－

3、＝(a＋b－c)．]4．在空间直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为A(2,1，－1)，B(3,4，λ)，C(2,7,1)，若⊥，则λ＝(　　)A．3B．1C．±3D．－3C　[由题知，＝(1,3，λ＋1)，＝(1，－3，λ－1)，由⊥，可得·＝0，即1－9＋λ2－1＝0，即λ2＝9，λ＝±3，故选C.]5．已知正四面体ABCD的棱长为1，且＝2，＝2，则·＝(　　)A.B.C．－D．－D　[因为＝2，＝2，所以EF∥BD，EF＝BD，即＝，则·＝·＝

4、

5、

6、

7、cos＝－.故选D.]二、填空题6.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D

8、的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．垂直　[以A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M，O，N，·＝·＝0，∴ON与AM垂直．]7．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．α∥β　[设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，由m·＝0，得x·0＋y－z＝0⇒y＝z，由m·＝0，得x－z＝0⇒x＝z，取x＝1，∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n

9、，∴α∥β.]8．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则BD的长为________．2或　[∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或120°.又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，∴

10、

11、＝＝＝＝＝，∴

12、

13、＝2或.∴BD的长为2或.]三、解答题9．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.(1)若

14、c

15、＝3，且c∥，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．[解]　(1)∵c∥，＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,

16、2)，∴c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，∴

17、c

18、＝＝3

19、m

20、＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又∵

21、a

22、＝＝，

23、b

24、＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝－，故向量a与向量b的夹角的余弦值为－.10.如图所示，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点，求证：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF.[证明]　建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.∴A(0,0,0

25、)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0)．(1)∵E，H分别是线段AP，AB的中点，∴PB∥EH.∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，∴PB∥平面EFH.(2)＝(0,2，－2)，＝(1,0,0)，＝(0,1,1)，∴·＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，·＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.∴PD⊥AF，PD⊥AH.又∵AF∩AH＝A，∴PD⊥平面AHF.B组　能力提升1．若