人教A版2020版新一线高考理科数学一轮复习课后限时集训50抛物线含解析

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1、课后限时集训(五十)　抛物线(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．(2019·哈尔滨模拟)过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为(　　)A．y2＝12x　　B．y2＝－12xC．x2＝－12yD．x2＝12yD　[由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以F(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，其方程为x2＝12y.故选D.]2．直线l过抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是(　　

2、)A．y2＝－12xB．y2＝－8xC．y2＝－6xD．y2＝－4xB　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知

3、AB

4、＝－(x1＋x2)＋p＝8.又AB的中点到y轴的距离为2，∴－＝2，∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，∴所求抛物线的方程为y2＝－8x.故选B.]3．已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，P是该抛物线上任意一点，M(5,3)，则

5、PF

6、＋

7、PM

8、的最小值是(　　)A．6B．5C．4D．3A　[由题意知，抛物线的准线l的方程为x＝－1，过点P作PE⊥l于点E，由抛物线的定义，得

9、P

10、E

11、＝

12、PF

13、，易知当P，E，M三点在同一条直线上时，

14、PF

15、＋

16、PM

17、取得最小值，即(

18、PF

19、＋

20、PM

21、)min＝5－(－1)＝6，故选A.]4．若点(3,1)是抛物线y2＝2px(p＞0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p的值是(　　)A．1B．2C．3D．4B　[设过点(3,1)的直线交抛物线y2＝2px(p＞0)于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由①－②得y－y＝2p(x1－x2)，即＝，由题意知kAB＝2，且y1＋y2＝2，故kAB＝＝2，所以p＝y1＋y2＝2.]5

22、．已知抛物线C：y2＝4x，过点P(－1,0)任作一直线交抛物线于A，B两点，点C为B关于x轴的对称点，则直线AC恒过定点(　　)A．(1,0)B．(0,1)C．(2,0)D.A　[设直线AB的方程为x＝my－1，与抛物线的方程联立，得y2－4my＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x2，－y2)，所以y1y2＝4，又x1－x2＝，则直线AC的方程为y＋y2＝(x－x2)，所以y＋y2＝，整理得y(y1－y2)＝4(x－1)，即直线AC恒过定点(1,0)，故选A.]二、填空题6．已知抛物线x

23、2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．x2＝4y　[△FPM为等边三角形，则

24、PM

25、＝

26、PF

27、，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M，因为焦点F，△FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线方程为x2＝4y.]7．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若

28、AF

29、＝2

30、BF

31、＝6，则p＝________.4　[设AB的方程为x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y

32、2)，且x1＞x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2,4x1x2＝p2.设抛物线的准线为l，过A作AC⊥l，垂足为C，过B作BD⊥l，垂足为D，因为

33、AF

34、＝2

35、BF

36、＝6，根据抛物线的定义知，

37、AF

38、＝

39、AC

40、＝x1＋＝6，

41、BF

42、＝

43、BD

44、＝x2＋＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4.]8.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．当水面宽为2

45、m时，水位下降了________m.1　[以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，把(2，－2)代入方程得p＝1，即抛物线的标准方程为x2＝－2y.将x＝代入x2＝－2y得：y＝－3，又－3－(－2)＝－1，所以水面下降了1m．]三、解答题9．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且

46、AB

47、＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋

48、λ，求λ的值．[解]　(1)由题意得直线AB的方程为y＝2，与y2＝2px联立，消去y有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.由抛物线定义得

49、AB

50、＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)．设C(x3，y3)，则＝(x3