人教A版2020版新一线高考理科数学一轮复习课后限时集训49双曲线含解析

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1、课后限时集训(四十九)　双曲线(建议用时：40分钟)A组　基础达标一、选择题1．(2019·福州模拟)已知双曲线E：mx2－y2＝1的两顶点间的距离为4，则E的渐近线方程为(　　)A．y＝±　　　B．y＝±C．y＝±2xD．y＝±4xB　[因为E：mx2－y2＝1的两顶点间的距离为4，所以m＝，所以E的方程为－y2＝1，所以E的渐近线方程为y＝±，故选B.]2．(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·＜0，则y0的取值范围是(　　)A.B.C.D.A　[由题意知a＝，b＝1，c＝，∴F1(－，0

2、)，F2(，0)，∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，即x－3＋y<0.∵点M(x0，y0)在双曲线上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y<0，∴－

3、PF1

4、·

5、PF2

6、的值为(　　)A．6B．9C．18D．36D　[不妨设点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，得

7、PF1

8、－

9、PF2

10、＝2a，两边平方，整理得

11、PF1

12、2＋

13、PF2

14、2＝4a2＋2

15、

16、PF1

17、

18、PF2

19、.在△PF1F2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝，即＝，解得

20、PF1

21、

22、PF2

23、＝36，故选D.]4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线的夹角θ满足sinθ＝，焦点到渐近线的距离为1，则该双曲线的焦距为(　　)A.B.或C.或2D．2C　[因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线的夹角θ满足sinθ＝，所以tanθ＝，不妨设双曲线经过第一、三象限的渐近线的倾斜角为α，则θ＝2α或θ＝π－2α，tanθ＝±tan2α＝±＝，得tanα＝2或，所以＝2或.设右焦点为(c,0)，其中一条渐近线方程为y＝x，则焦点到渐近线的

24、距离d＝＝b＝1，又b2＝c2－a2＝1，解得c＝或，所以双曲线的焦距为或2.]5．(2019·惠州一调)已知F1和F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以坐标原点O为圆心，以

25、OF1

26、为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为(　　)A.B.－1C.＋1D．2C　[由题意知

27、F1F2

28、＝2c，∵△F2AB是等边三角形，∴∠AF2F1＝30°.连接AF1，∴

29、AF1

30、＝c，

31、AF2

32、＝c，∴a＝，∴e＝＝＋1.故选C.]6．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐

33、近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为(　　)A.B.C.D．2C　[易知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则点F(c,0)到渐近线的距离为＝＝b，即圆F的半径为b.令x＝c，则y＝±b＝±，由题意，得b＝，即a＝b，所以双曲线的离心率e＝＝，故选C.]7．已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则

34、AP

35、＋

36、AF2

37、的最小值为(　　)A.＋4B.－4C.－2D.＋2C　[由题意知，

38、AP

39、＋

40、AF2

41、＝

42、AP

43、＋

44、AF1

45、－2a，要求

46、AP

47、＋

48、AF2

49、的最小值，只需

50、求

51、AP

52、＋

53、AF1

54、的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，则

55、AP

56、＋

57、AF1

58、＝

59、PF1

60、＝，∴

61、AP

62、＋

63、AF2

64、的最小值为

65、AP

66、＋

67、AF1

68、－2a＝－2.]二、填空题8.如图，F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两个分支分别交于点B，A.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为________．　[∵△ABF2为等边三角形，∴

69、AB

70、＝

71、AF2

72、＝

73、BF2

74、，∠F1AF2＝60°.由双曲线的定义，得

75、AF1

76、－

77、AF2

78、＝2a，∴

79、BF1

80、＝2a.又

81、BF2

82、－

83、BF1

84、＝2a，∴

85、BF2

86、

87、＝4a，∴

88、AF2

89、＝4a，

90、AF1

91、＝6a.在△AF1F2中，由余弦定理，得

92、F1F2

93、2＝

94、AF1

95、2＋

96、AF2

97、2－2

98、AF2

99、·

100、AF1

101、cos60°，∴(2c)2＝(6a)2＋(4a)2－2×4a×6a×，化简得c2＝7a2，∴e＝＝＝.]9．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是________．－＝1　[椭圆＋＝1的焦点坐标为(0，±3)．设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由双曲线的定义得2a＝

102、－

103、＝4，故a＝2，b2＝32－22＝5，故所求双曲线的标准方程为－＝1.]1

104、0．(2019·武汉模拟)已知双曲线x2－＝1的左顶