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时间:2019-10-27
《2020版高考数学一轮复习课后限时集训13导数的概念及运算理新人教版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课后限时集训(十三) 导数的概念及运算(建议用时:60分钟)A组 基础达标一、选择题1.函数y=ln(2x2+1)的导数是( )A. B.C.D.B [y′=·4x=,故选B.]2.f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值等于( )A.B.C.D.D [因为f′(x)=3ax2+6x,所以f′(-1)=3a-6=4,解得a=.故选D.]3.(2018·广州一模)已知直线y=kx-2与曲线y=xlnx相切,则实数k的值为( )A.ln2B.1C.1-ln2D.1+ln2D [由y=xlnx知y′=lnx+1,设切点为(x0,x0ln
2、x0),则切线方程为y-x0lnx0=(lnx0+1)(x-x0),因为切线y=kx-2过定点(0,-2),所以-2-x0lnx0=(lnx0+1)(0-x0),解得x0=2,故k=1+ln2,选D.]4.设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为( )A.(0,0)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,-1)或(-1,1)D [由题意知,f′(x)=3x2+2ax,所以曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率为f′(x0)=3x+2ax0,又切线方程为x+y=0,
3、所以x0≠0,且,解得a=±2,x0=-.所以当时,点P的坐标为(1,-1);当时,点P的坐标为(-1,1),故选D.]5.已知曲线y=,则曲线的切线斜率取得最大值时的切线方程为( )A.x+4y-2=0B.x-4y+2=0C.4x+2y-1=0D.4x-2y-1=0A [y′==,因为ex>0,所以ex+≥2=2(当且仅当ex=,即x=0时取等号),则ex++2≥4,故y′=≤-(当x=0时取等号).当x=0时,曲线的切线斜率取得最大值,此时切点的坐标为,切线的方程为y-=-(x-0),即x+4y-2=0.故选A.]二、填空题6.(2019·漳州模拟)
4、曲线y=-2sinx在x=处的切线的倾斜角大小为________. [∵y′=-2cosx,∴y′
5、x==-2cos=-1,设切线的倾斜角为θ,则tanθ=-1,又0≤θ<π,∴θ=.]7.若曲线f(x)=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是______.(-∞,0) [由题意,可知f′(x)=3ax2+,又存在垂直于y轴的切线,所以3ax2+=0,即a=-(x>0),故a∈(-∞,0).]8.(2019·大连调研)若函数f(x)=x2-ax+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________.[2,+∞) [∵f(x)=
6、x2-ax+lnx,∴f′(x)=x-a+.∵f(x)存在垂直于y轴的切线,∴f′(x)存在零点,∴x+-a=0有解,∴a=x+≥2(x>0).]三、解答题9.已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.[解] (1)∵f′(x)=3x2-8x+5,∴f′(2)=1,又f(2)=-2,∴曲线在点(2,f(2))处的切线方程为y+2=x-2,即x-y-4=0.(2)设曲线与经过点A(2,-2)的切线相切于点P(x0,x-4x+5x0-4),∵f′(x0)
7、=3x-8x0+5,∴切线方程为y-(-2)=(3x-8x0+5)(x-2),又切线过点P(x0,x-4x+5x0-4),∴x-4x+5x0-2=(3x-8x0+5)(x0-2),整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或1,∴经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.10.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.[解] (1)方程7x
8、-4y-12=0可化为y=x-3,当x=2时,y=.又因为f′(x)=a+,所以解得所以f(x)=x-.(2)证明:设P(x0,y0)为曲线y=f(x)上任一点,由y′=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0).令x=0,得y=-,所以切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x,得y=x=2x0,所以切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积S=
9、2x0
10、=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成
11、的三角形面积为定值,且此定值为6.B组 能力提升1.曲线y=e在点
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