精品系列：2019版高考数学（理科）总复习教师用书练习：5.3　空间向量与立体几何 含解析

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1、5、3　空间向量与立体几何命题角度1空间位置关系证明与线面角求解　高考真题体验·对方向1、(2018全国Ⅰ·18)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P位置,且PF⊥BF、(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角正弦值、(1)证明由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF、又BF⊂平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD、(2)解作PH⊥EF,垂足为H、由(1)得,PH⊥平面ABFD、以H为坐标原点,方向为y轴正方向,

2、

3、为单位长,建立如图所示空间直角坐标系H

4、-xyz、由(1)可得,DE⊥PE、又DP=2,DE=1,所以PE=、又PF=1,EF=2,故PE⊥PF、可得PH=,EH=、则H(0,0,0),P,D为平面ABFD法向量、设DP与平面ABFD所成角为θ,则sinθ=、所以DP与平面ABFD所成角正弦值为、2、(2018全国Ⅱ·20)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC中点、(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角正弦值、(1)证明因为AP=CP=AC=4,O为AC中点,所以OP⊥AC,且OP=2、连接O

5、B,因为AB=BC=AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2、由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB、由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC、(2)解如图,以O为坐标原点,方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz、由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),=(0,2,2)、取平面PAC法向量=(2,0,0),设M(a,2-a,0)(0

6、n>=、由已知可得

7、cos<,n>

8、=、所以,解得a=-4(舍去),a=、所以n=、又=(0,2,-2),所以cos<,n>=、所以PC与平面PAM所成角正弦值为、3、(2016全国Ⅲ·19)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC中点、(1)证明MN∥平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角正弦值、(1)证明由已知得AM=AD=2、取BP中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2、又AD∥BC,故TN?AM,四边形AMNT为平行四边形,

9、于是MN∥AT、因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB、(2)解取BC中点E,连接AE、由AB=AC得AE⊥BC,从而AE⊥AD,且AE=、以A为坐标原点,方向为x轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系A-xyz、由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N=(0,2,-4),、设n=(x,y,z)为平面PMN法向量,则可取n=(0,2,1)、于是

10、cos

11、=、4、(2015全国Ⅰ·18)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF

12、,AE⊥EC、(1)证明:平面AEC⊥平面AFC;(2)求直线AE与直线CF所成角余弦值、(1)证明连接BD,设BD∩AC=G,连接EG,FG,EF、在菱形ABCD中,不妨设GB=1、由∠ABC=120°,可得AG=GC=、由BE⊥平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC、又AE⊥EC,所以EG=,且EG⊥AC、在Rt△EBG中,可得BE=,故DF=、在Rt△FDG中,可得FG=、在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=,可得EF=、从而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG、又AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC、因为EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面

13、AFC、(2)解如图,以G为坐标原点,分别以方向为x轴、y轴正方向,

14、

15、为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz、由(1)可得A(0,-,0),E(1,0,),F,C(0,,0),所以=(1,),、故cos<>==-、所以直线AE与直线CF所成角余弦值为、新题演练提能·刷高分1、(2018山东潍坊二模)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=A1D,AB=BC,∠ABC=120°、(1)证明:AD⊥A1B;(2)若平面ADD1A1⊥平面ABCD,且A1D=AB,求直线BA1与平面A1B1CD所成角正弦值、(1)证明取AD中点O,连接OB,OA1,B