2013高中数学高考真题分类：考点31-直接证明与间接证明

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1、温馨提示：此题库为Word版、请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴、调节合适的观看比例、关闭Word文档返回原板块。考点31直接证明与间接证明1.（2013·北京高考理科·Ｔ20）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列、该数列前n项的最大值记为An、第n项之后各项、…的最小值记为Bn、dn=An－Bn、(1)若{an}为2、1、4、3、2、1、4、3…、是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*、)、写出d1、d2、d3、d4的值；(2)设d为非负整数、证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列；(3)证明：若a1=2、dn=1(n=1

2、,2,3…)、则{an}的项只能是1或2、且有无穷多项为1【解题指南】(1)根据{dn}的定义求.(2)充分性:先证明{an}是不减数列,再利用定义求dn;必要性:先证明{an}是不减数列,再利用定义证明等差.(3)可通过取特殊值和反证法进行证明.【解析】（1）、、、。（2）充分性：若为公差为的等差数列、则.因为是非负整数、所以是常数列或递增数列.、、(n=1,2,3,…).必要性：若、假设是第一个使得的项、则、、、这与矛盾.所以是不减数列.、即、是公差为的等差数列.（3）①首先中的项不能是0、否则、与已知矛盾.②中的项不能超过2、用反证法证明如下：若中有超过2

3、的项、设是第一个大于2的项、中一定存在项为1、否则与矛盾.当时、、否则与矛盾.因此存在最大的i在2到k-1之间、使得、此时、矛盾.综上中没有超过2的项.综合①②、中的项只能是1或2.下面证明1有无数个、用反证法证明如下：若为最后一个1、则、矛盾.因此1有无数个.2.（2013·北京高考文科·Ｔ20）给定数列a1、a2、…、an。对i=1、2、…n-l、该数列前i项的最大值记为Ai、后n-i项ai+1、ai+2、…、an的最小值记为Bi、di=Ai-Bi.（1）设数列{an}为3、4、7、1、写出d1、d2、d3的值.（2）设a1、a2、…、an（n≥4）是公比大

4、于1的等比数列、且a1＞0.证明：d1、d2、…dn-1是等比数列。（3）设d1、d2、…dn-1是公差大于0的等差数列、且d1＞0、证明：a1、a2、…、an-1是等差数列。【解题指南】(1)利用di的公式,求d1,d2,d3的值.(2)先求出{dn}的通项,再利用等比数列的定义证明{dn}是等比数列.(3)先证明{an}是单调递增数列,再证明an是数列{an}的最小项,最后证明{an}是等差数列.【解析】（1）、、。（2）由是公比大于1的等比数列、且a1＞0、可得的通项为且为单调递增数列。于是当时、为定值。因此d1、d2、…dn-1构成首项、公比的等比数列。

5、（3）若d1,d2,…,dn-1是公差大于0的等差数列,则00矛盾.因而k≥2,此时考虑dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-ak<0,矛盾.因此,an为数列

6、{an}中的最小项.综上,dk=Ak-Bk=ak-an(k=1,2,…,n-1),于是ak=dk+an,从而a1,a2,…,an-1是等差数列.关闭Word文档返回原板块。