高中数学直接证明与间接证明

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1、第六节　直接证明与间接证明1．直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的___________，最后推导出所要证明的结论_______从要_____________出发，逐步寻求使它成立的____________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件推理论证成立证明的结论充分条件2.间接证明反证法：假设原命题___________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_______．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾1．综合法和分析法的区别和联系是什么？【提示】综合法的特点

2、是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用．2．反证法的关键是推出矛盾，所谓矛盾主要是指什么？【提示】反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．1．(人教A版教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设()A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于

3、60°【答案】B【答案】C【答案】D【答案】－b5．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1＝________．【解析】由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1＋(n－1)＝1＋n－1＝n.【答案】n定义在x∈[0，1]上的函数f(x)．若x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是否为理想函数，如果是，请予证明；如果不是，请说明理由．【思路点拨】根据理想函数的定义加以判定证

4、明．【尝试解答】g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是理想函数．当x1≥0，x2≥0，且x1＋x2≤1时，f(x1＋x2)＝2x1＋x2－1，f(x1)＋f(x2)＝2x1＋2x2－2，∴f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝2x1(2x2－1)－(2x2－1)＝(2x2－1)(2x1－1)，∵x1≥0，x2≥0，∴2x1－1≥0，2x2－1≥0，∴f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]≥0，则f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．故函数g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是理想函数．1．综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知

5、(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．2．综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．(2012·湖南高考改编)已知函数f(x)＝rx－xr＋(1－r)，其中x＞0，r为有理数．(1)若0＜r＜1，求函数f(x)的最小值．(2)试用(1)的结论证明命题：设a1＞0，a2＞0，b1，b2为正有理数，若b1＋b2＝1，则a1b1·a2b2≤a1b1＋a2b2.【解】(1)f′(x)＝r－rxr－1＝r(1－xr－1)，令f′(x)＝0，得x＝1，【思路点拨】从条件难以向结论转化．转换角度从结论出发，寻找使结

6、论成立的充分条件．1．对于无理不等式，常用分析法证明．通过反推，逐步寻找结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．2．对于较复杂的不等式，通常用分析法探索证明途径，然后用综合法加以证明，分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，优点是利于思考，因为它的方向明确，思路自然，而综合法的优点是易于表述，条理清晰，形式简洁．【证明】∵m＞0，∴1＋m＞0，所以要证原不等式成立，只需证明，(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证.(2011·安徽高考)设直线l1：y＝k

7、1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.(1)证明：l1与l2相交；(2)证明：l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．【思路点拨】第(1)问采用反证法；(2)求直线l1与l2的交点坐标，代入椭圆方程验证．1．当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，直用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公