2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节抛物线教学案理北师大版

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1、第六节　抛物线[考纲传真]　1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1

2、准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦半径(其中P(x0，y0))

3、PF

4、＝x0＋

5、PF

6、＝－x0＋

7、PF

8、＝y0＋

9、PF

10、＝－y0＋1．y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－.2.设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.(2)弦长

11、AB

12、＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦．[基

13、础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　)(3)若一抛物线过点P(－2,3)，则其标准方程可写为y2＝2px(p＞0)．(　　)(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)A．y＝－1　　　　　　　　B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2A　[∵y＝x2，∴x2＝4y

14、，∴准线方程为y＝－1.]3．(教材改编)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是(　　)A．y2＝－xB．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8yD　[若焦点在y轴上，设抛物线方程为x2＝my，由题意可知16＝－2m，∴m＝－8，即x2＝－8y.若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝nx，由题意，得4＝－4n，∴n＝－1，∴y2＝－x.综上知，y2＝－x或x2＝－8y.故选D．]4．(教材改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)A.B．C.D．0

15、B　[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.]5．(教材改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则

16、PQ

17、等于________．8　[

18、PQ

19、＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]抛物线的定义及应用【例1】　(1)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且

20、AF

21、＋

22、BF

23、＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)A.B．1C.D．(2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，A(3,2)，则

24、

25、PA

26、＋

27、PF

28、的最小值为________，取最小值时点P的坐标为________．(1)C　(2)　(2,2)　[(1)如图所示，设抛物线的准线为l，AB的中点为M，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，MM1⊥l于M1，由抛物线的定义知p＝，

29、AA1

30、＋

31、BB1

32、＝

33、AF

34、＋

35、BF

36、＝3，则点M到y轴的距离为

37、MM1

38、－＝(

39、AA1

40、＋

41、BB1

42、)－＝.故选C.(2)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.因为＞2，所以点A在抛物线内部，如图所示．过点P作PQ⊥l于点Q，则

43、PA

44、＋

45、PF

46、＝

47、PA

48、＋

49、PQ

50、，当PA⊥l，即A，

51、P，Q三点共线时，

52、PA

53、＋

54、PQ

55、最小，最小值为，即

56、PA

57、＋

58、PF

59、的最小值为，此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，所以所求点P的坐标为(2,2)．][规律方法]　应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离

60、PF

61、＝

62、x0

63、＋或

64、PF

65、＝

66、y0

67、＋.(1)动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．(2)(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，F

68、M的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则

69、FN

70、＝________.(1)y2＝4x　(2)6　[(1)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，