高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节抛物线学案文北师大版

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1、第六节　抛物线[考纲传真]　1.了解抛物线的实际背影，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线方程).3.理解数形结合的思想.4.了解抛物线的简单应用．(对应学生用书第123页)[基础知识填充]1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的集合叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何

2、意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦半径

3、PF

4、x0＋－x0＋y0＋－y0＋[知识拓展]1．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离

5、PF

6、＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．2．y2＝ax的焦点坐标为，准线方程为x＝－.3．设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.(2)弦长

7、AB

8、＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．(

9、3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的集合一定是抛物线．(　　)(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长

10、AB

11、＝x1＋

12、x2＋p.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(教材改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．0B　[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.]3．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2A　[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]4．(2018·大同模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为(　　)A．(－1,0)B．(1,0)

13、C．(0，－1)D．(0,1)B　[抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]5．(2016·浙江高考)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．9　[设点M的横坐标为x0，则点M到准线x＝－1的距离为x0＋1，由抛物线的定义知x0＋1＝10，∴x0＝9，∴点M到y轴的距离为9.](对应学生用书第124页)抛物线的定义及应用　(1)(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，点A(x0，y0)是C上一点，

14、AF

15、＝x0，则x0＝(　　)A．

16、1B．2　　　　　C．4　　　　　D．8(2)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则

17、AC

18、＋

19、BD

20、的最小值为__________．【导学号：00090304】(1)A　(2)2　[(1)由y2＝x，知2p＝1，即p＝，因此焦点F，准线l的方程为x＝－.设点A(x0，y0)到准线l的距离为d，则由抛物线的定义可知d＝

21、AF

22、.从而x0＋＝x0，解得x0＝1.(2)由y2＝4x，知p＝2，焦点F(1,0)，准线x＝－1.根据抛物线的定义，

23、AF

24、＝

25、AC

26、＋1，

27、BF

28、＝

29、BD

30、＋1.因此

31、AC

32、＋

33、B

34、D

35、＝

36、AF

37、＋

38、BF

39、－2＝

40、AB

41、－2.所以

42、AC

43、＋

44、BD

45、取到最小值，当且仅当

46、AB

47、取得最小值，又

48、AB

49、＝2p＝4为最小值．故

50、AC

51、＋

52、BD

53、的最小值为4－2＝2.][规律方法]　1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快．2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，由定义易得

54、PF

55、＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为

56、AB

57、＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出．[变