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《2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.7抛物线学案文》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、8.7 抛物线[知识梳理]1.抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质3.必记结论(1)抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F的距离
2、PF
3、=x0+,也称为抛物线的焦半径.(2)y2=ax的焦点坐标为,准线方程为x=-.(3)直线AB过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如图.①y1y2=-p2,x1x2=.②
4、
5、AB
6、=x1+x2+p,x1+x2≥2=p,即当x1=x2时,弦长最短为2p.③+为定值.④弦长AB=(α为AB的倾斜角).⑤以AB为直径的圆与准线相切.⑥焦点F对A,B在准线上射影的张角为90°.[诊断自测]1.概念思辨(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )(2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是,准线方程是x=-.( )(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直
7、线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物线x2=-2ay(a>0)的通径长为2a.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.教材衍化(1)(选修A1-1P64A组T2)抛物线y=x2(a≠0)的焦点坐标为( )A.或B.C.D.答案 C解析 把方程写成x2=ay,若a>0,则p=,焦点为F;若a<0,则p=-,开口向下,焦点为F.故选C.(2)(选修A1-1P61例4)若过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为( )A.8B.16C.32D.64
8、答案 B解析 由抛物线y2=8x的焦点为(2,0),得直线的方程为y=x-2,代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,弦长为x1+x2+p=12+4=16.故选B.3.小题热身(1)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是( )A.B.C.1D.答案 B解析 由抛物线y2=4x,有2p=4⇒p=2,焦点坐标为(1,0),双曲线的渐近线方程为y=±x,不妨取其中一条x-y=0,由点到直线的距离公式,有d==.故选B.(2)(2018·正定一
9、模)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=________.答案 1+解析
10、OD
11、=,
12、DE
13、=b,
14、DC
15、=a,
16、EF
17、=b,故C,F,又抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,从而有即∴b2=a2+2ab,∴2-2·-1=0,又>1,∴=1+.题型1 抛物线的定义及应用 (2016·浙江高考)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是________.抛物线定义法.答案
18、9解析 设M(x0,y0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得
19、MF
20、=x0+1=10,∴x0=9,即点M到y轴的距离为9.[条件探究1] 将典例条件变为“过该抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点,若
21、AF
22、=3”,求△AOB的面积.解 焦点F(1,0),设A,B分别在第一、四象限,则点A到准线l:x=-1的距离为3,得A的横坐标为2,纵坐标为2,AB的方程为y=2(x-1),与抛物线方程联立可得2x2-5x+2=0,所以B的横坐标为,纵坐标为-,S△AOB=×1×(2+)=.[条
23、件探究2] 将典例条件变为“在抛物线上找一点M,使
24、MA
25、+
26、MF
27、最小,其中A(3,2)”.求M点坐标及此时的最小值.解 如图,点A在抛物线y2=4x的内部,由抛物线的定义可知,
28、MA
29、+
30、MF
31、=
32、MA
33、+
34、MH
35、,其中
36、MH
37、为M到抛物线的准线的距离.过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1,垂足为B,则
38、MA
39、+
40、MF
41、=
42、MA
43、+
44、MH
45、≥
46、AB
47、=4,当且仅当点M在M1的位置时等号成立.此时M1点的坐标为(1,2).方法技巧利用抛物线的定义可解决的常见问题1.轨迹问题:用抛物线的定义可以确定
48、动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.见典例.2.距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化.见条件探究2.3.看到准线想焦点,看到焦点想准线,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.冲关针对训练(2017·湖北二模)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若++=0,则
49、FA
50、+
51、FB
52、+
53、FC
54、的值为( )A.3B.6C.9D.12答案 B解析 抛物线y2=4x焦点坐标为F(1