高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节抛物线学案理北师大版

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1、第六节　抛物线[考纲传真]　(教师用书独具)1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．(对应学生用书第141页)[基础知识填充]1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p

2、的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦半径(其中P(x0，y0))

3、PF

4、＝x0＋

5、PF

6、＝－x0＋

7、PF

8、＝y0＋

9、PF

10、＝－y0＋[知识拓展]　已知y2＝2px，过焦点F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，l的倾斜角为θ，如图861，则图861(1)

11、AB

12、＝x1＋x2＋p＝；(2)x1x2＝，y1y2＝－p2；(3)＋＝；(4)S△

13、AOB＝；(5)

14、CD

15、＝2p，即通径，通径是过抛物线焦点弦中最短的弦．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y

16、1y2＝－p2，弦长

17、AB

18、＝x1＋x2＋p.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)A．y＝－1　　B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2A　[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]3．(教材改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)A．　B．C．D．0B　[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.]4．顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P(－4，－2)

19、的抛物线方程是________．x2＝－8y　[设抛物线的方程为x2＝my，将点P(－4，－2)代入x2＝my，得m＝－8，所以抛物线方程是x2＝－8y.]5．(2016·浙江高考)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．9　[设点M的横坐标为x，则点M到准线x＝－1的距离为x＋1，由抛物线的定义知x＋1＝10，∴x＝9，∴点M到y轴的距离为9.](对应学生用书第142页)抛物线的定义及应用　(1)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是

20、直线PF与C的一个交点，若＝4，则

21、QF

22、＝(　　)A．　　　B．C．3D．2(2)(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则

23、FN

24、＝________.(1)C　(2)6　[(1)∵＝4，∴

25、

26、＝4

27、

28、，∴＝.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则

29、AF

30、＝4，∴＝＝，∴

31、QQ′

32、＝3.根据抛物线定义可知

33、QF

34、＝

35、QQ′

36、＝3.(2)如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准

37、线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知，F(2,0)，

38、FO

39、＝

40、AO

41、＝2.∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴

42、MP

43、＝

44、FO

45、＝1.又

46、BP

47、＝

48、AO

49、＝2，∴

50、MB

51、＝

52、MP

53、＋

54、BP

55、＝3.由抛物线的定义知

56、MF

57、＝

58、MB

59、＝3，故

60、FN

61、＝2

62、MF

63、＝6.][规律方法]　应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离

64、PF

65、＝

66、x

67、＋或

68、PF

69、＝

70、y

71、＋.[跟踪训练]　(1)

72、(2017·广东汕头调研)已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则

73、PQ

74、＋

75、PN

76、的最小值为(　　)A．3B．4C．5D．＋1(2)动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________.【导学号：79140289】(1)A　(2)y2＝4x　[(1)由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，所以N与F重合．过