2019版高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.7 抛物线学案 理

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1、8.7　抛物线[知识梳理]1．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质3．必记结论(1)抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离

2、PF

3、＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．(2)y2＝ax的焦点坐标为，准线方程为x＝－.(3)直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图．①y1y2＝－p2，x1x2＝.

4、②

5、AB

6、＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.③＋为定值.④弦长AB＝(α为AB的倾斜角)．⑤以AB为直径的圆与准线相切．⑥焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴

7、垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a＞0)的通径长为2a.(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．教材衍化(1)(选修A1－1P64A组T2)抛物线y＝x2(a≠0)的焦点坐标为(　　)A.或B.C.D.答案　C解析　把方程写成x2＝ay，若a>0，则p＝，焦点为F；若a<0，则p＝－，开口向下，焦点为F.故选C.(2)(选修A1－1P61例4)若过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(　　)A．8B．16C．

8、32D．64答案　B解析　由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0，所以x1＋x2＝12，弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16.故选B.3．小题热身(1)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)A.B.C．1D.答案　B解析　由抛物线y2＝4x，有2p＝4⇒p＝2，焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨取其中一条x－y＝0，由点到直线的距离公式，有d＝＝.故选B.(2)(

9、2018·正定一模)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝________.答案　1＋解析　

10、OD

11、＝，

12、DE

13、＝b，

14、DC

15、＝a，

16、EF

17、＝b，故C，F，又抛物线y2＝2px(p>0)经过C，F两点，从而有即∴b2＝a2＋2ab，∴2－2·－1＝0，又>1，∴＝1＋.题型1　抛物线的定义及应用　　(2016·浙江高考)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．

18、抛物线定义法．答案　9解析　设M(x0，y0)，由抛物线方程知焦点F(1,0)．根据抛物线的定义得

19、MF

20、＝x0＋1＝10，∴x0＝9，即点M到y轴的距离为9.[条件探究1]　将典例条件变为“过该抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若

21、AF

22、＝3”，求△AOB的面积．解　焦点F(1,0)，设A，B分别在第一、四象限，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得A的横坐标为2，纵坐标为2，AB的方程为y＝2(x－1)，与抛物线方程联立可得2x2－5x＋2＝0，所以B的横坐标为，纵坐标为－，S△AOB

23、＝×1×(2＋)＝.[条件探究2]　将典例条件变为“在抛物线上找一点M，使

24、MA

25、＋

26、MF

27、最小，其中A(3,2)”．求M点坐标及此时的最小值．解　如图，点A在抛物线y2＝4x的内部，由抛物线的定义可知，

28、MA

29、＋

30、MF

31、＝

32、MA

33、＋

34、MH

35、，其中

36、MH

37、为M到抛物线的准线的距离．过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则

38、MA

39、＋

40、MF

41、＝

42、MA

43、＋

44、MH

45、≥

46、AB

47、＝4，当且仅当点M在M1的位置时等号成立．此时M1点的坐标为(1,2)．方法技巧利用抛物线的定义可解决的常见问题1．轨迹

48、问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．见典例．2．距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．见条件探究2.3．看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．冲关针对训练(2017·湖北二模)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则

49、FA

50、＋

51、FB

52、＋

53、FC

54、的值为(　　)A．3B．6C．9D．12答案　B解析　抛物线y2＝4x焦点坐标为F(1