2019版高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.7 抛物线学案 理

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1、8.7 抛物线[知识梳理]1.抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质3.必记结论(1)抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F的距离

2、PF

3、=x0+,也称为抛物线的焦半径.(2)y2=ax的焦点坐标为,准线方程为x=-.(3)直线AB过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如图.①y1y2=-p2,x1x2=.

4、②

5、AB

6、=x1+x2+p,x1+x2≥2=p,即当x1=x2时,弦长最短为2p.③+为定值.④弦长AB=(α为AB的倾斜角).⑤以AB为直径的圆与准线相切.⑥焦点F对A,B在准线上射影的张角为90°.[诊断自测]1.概念思辨(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(  )(2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是,准线方程是x=-.(  )(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(  )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴

7、垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物线x2=-2ay(a>0)的通径长为2a.(  )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.教材衍化(1)(选修A1-1P64A组T2)抛物线y=x2(a≠0)的焦点坐标为(  )A.或B.C.D.答案 C解析 把方程写成x2=ay,若a>0,则p=,焦点为F;若a<0,则p=-,开口向下,焦点为F.故选C.(2)(选修A1-1P61例4)若过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为(  )A.8B.16C.

8、32D.64答案 B解析 由抛物线y2=8x的焦点为(2,0),得直线的方程为y=x-2,代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,弦长为x1+x2+p=12+4=16.故选B.3.小题热身(1)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是(  )A.B.C.1D.答案 B解析 由抛物线y2=4x,有2p=4⇒p=2,焦点坐标为(1,0),双曲线的渐近线方程为y=±x,不妨取其中一条x-y=0,由点到直线的距离公式,有d==.故选B.(2)(

9、2018·正定一模)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=________.答案 1+解析 

10、OD

11、=,

12、DE

13、=b,

14、DC

15、=a,

16、EF

17、=b,故C,F,又抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,从而有即∴b2=a2+2ab,∴2-2·-1=0,又>1,∴=1+.题型1 抛物线的定义及应用  (2016·浙江高考)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是________.

18、抛物线定义法.答案 9解析 设M(x0,y0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得

19、MF

20、=x0+1=10,∴x0=9,即点M到y轴的距离为9.[条件探究1] 将典例条件变为“过该抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点,若

21、AF

22、=3”,求△AOB的面积.解 焦点F(1,0),设A,B分别在第一、四象限,则点A到准线l:x=-1的距离为3,得A的横坐标为2,纵坐标为2,AB的方程为y=2(x-1),与抛物线方程联立可得2x2-5x+2=0,所以B的横坐标为,纵坐标为-,S△AOB

23、=×1×(2+)=.[条件探究2] 将典例条件变为“在抛物线上找一点M,使

24、MA

25、+

26、MF

27、最小,其中A(3,2)”.求M点坐标及此时的最小值.解 如图,点A在抛物线y2=4x的内部,由抛物线的定义可知,

28、MA

29、+

30、MF

31、=

32、MA

33、+

34、MH

35、,其中

36、MH

37、为M到抛物线的准线的距离.过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1,垂足为B,则

38、MA

39、+

40、MF

41、=

42、MA

43、+

44、MH

45、≥

46、AB

47、=4,当且仅当点M在M1的位置时等号成立.此时M1点的坐标为(1,2).方法技巧利用抛物线的定义可解决的常见问题1.轨迹

48、问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.见典例.2.距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化.见条件探究2.3.看到准线想焦点,看到焦点想准线,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.冲关针对训练(2017·湖北二模)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若++=0,则

49、FA

50、+

51、FB

52、+

53、FC

54、的值为(  )A.3B.6C.9D.12答案 B解析 抛物线y2=4x焦点坐标为F(1

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