2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.7抛物线学案理

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1、8.7　抛物线[知识梳理]1．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质3．必记结论(1)抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离

2、PF

3、＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．(2)y2＝ax的焦点坐标为，准线方程为x＝－.(3)直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图．①y1y2＝－p2，x1x2＝.②

4、AB

5、＝x1＋x2＋p，x1

6、＋x2≥2＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.③＋为定值.④弦长AB＝(α为AB的倾斜角)．⑤以AB为直径的圆与准线相切．⑥焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－

7、2ay(a＞0)的通径长为2a.(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．教材衍化(1)(选修A1－1P64A组T2)抛物线y＝x2(a≠0)的焦点坐标为(　　)A.或B.C.D.答案　C解析　把方程写成x2＝ay，若a>0，则p＝，焦点为F；若a<0，则p＝－，开口向下，焦点为F.故选C.(2)(选修A1－1P61例4)若过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(　　)A．8B．16C．32D．64答案　B解析　由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y

8、2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0，所以x1＋x2＝12，弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16.故选B.3．小题热身(1)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)A.B.C．1D.答案　B解析　由抛物线y2＝4x，有2p＝4⇒p＝2，焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨取其中一条x－y＝0，由点到直线的距离公式，有d＝＝.故选B.(2)(2018·正定一模)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a

9、>0)经过C，F两点，则＝________.答案　1＋解析　

10、OD

11、＝，

12、DE

13、＝b，

14、DC

15、＝a，

16、EF

17、＝b，故C，F，又抛物线y2＝2px(p>0)经过C，F两点，从而有即∴b2＝a2＋2ab，∴2－2·－1＝0，又>1，∴＝1＋.题型1　抛物线的定义及应用　　(2016·浙江高考)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．抛物线定义法．答案　9解析　设M(x0，y0)，由抛物线方程知焦点F(1,0)．根据抛物线的定义得

18、MF

19、＝x0＋1＝10，∴x0＝9，即点M到y轴的距离为9.

20、[条件探究1]　将典例条件变为“过该抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若

21、AF

22、＝3”，求△AOB的面积．解　焦点F(1,0)，设A，B分别在第一、四象限，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得A的横坐标为2，纵坐标为2，AB的方程为y＝2(x－1)，与抛物线方程联立可得2x2－5x＋2＝0，所以B的横坐标为，纵坐标为－，S△AOB＝×1×(2＋)＝.[条件探究2]　将典例条件变为“在抛物线上找一点M，使

23、MA

24、＋

25、MF

26、最小，其中A(3,2)”．求M点坐标及此时的最小值．解　如图，点A在抛物线y2＝4x的内部，由抛物线

27、的定义可知，

28、MA

29、＋

30、MF

31、＝

32、MA

33、＋

34、MH

35、，其中

36、MH

37、为M到抛物线的准线的距离．过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则

38、MA

39、＋

40、MF

41、＝

42、MA

43、＋

44、MH

45、≥

46、AB

47、＝4，当且仅当点M在M1的位置时等号成立．此时M1点的坐标为(1,2)．方法技巧利用抛物线的定义可解决的常见问题1．轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．见典例．2．距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．见条件探究2.3．看到准线想焦点，

48、看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．冲关针对训练(2017·湖北二模)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则

49、FA

50、＋

51、FB

52、＋

53、FC

54、的值为(　　)A．3B．6C．9D．12答案　B解析　抛物线y2＝4x焦点坐标为F(1