高中数学基本初等函数（Ⅰ）2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质第2课时指数函数及其性质的应用学案

《高中数学基本初等函数（Ⅰ）2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质第2课时指数函数及其性质的应用学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第2课时　指数函数及其性质的应用学习目标　1.理解指数函数的单调性与底数的关系(重点).2.能运用指数函数的单调性解决一些问题(重、难点).考查方向　题型一　指数函数单调性的应用方向1　比较两数的大小【例1－1】　(1)下列大小关系正确的是(　　)A.0.43<30.4<π0B.0.43<π0<30.4C.30.4<0.43<π0D.π0<30.4<0.43(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)A.a

2、<30.4，故选B.(2)∵1.50.6>1.50＝1，0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6，选C.答案　(1)B　(2)C方向2　解简单的指数不等式【例1－2】　(1)不等式≤2的解集为________；(2)已知a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围.(1)解析　∵2＝，∴原不等式可化为≤.∵函数y＝在R上是减函数，∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x

3、x≥0

4、}.答案　{x

5、x≥0}(2)解　当a>1时，∵a－5x>ax＋7，∴－5x>x＋7，解得x<－；当0ax＋7，∴－5x－.综上所述，x的取值范围是：当a>1时，x<－；当0－.方向3　指数型函数的单调性【例1－3】　判断f(x)＝的单调性，并求其值域.解　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝在(－∞，＋∞)上递减，∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴

6、y＝，u∈[－1，＋∞)，∴0＜≤＝3，∴原函数的值域为(0，3].规律方法　1.比较幂值大小的三种类型及处理方法2.解指数不等式的类型及应注意的问题(1)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，要对a分为01两种情况分类讨论.(2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解.3.函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0

7、　指数函数的实际应用【例2】　某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少.(1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式；(2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？解　(1)过滤1次后的杂质含量为×＝×；过滤2次后的杂质含量为×＝×；过滤3次后的杂质含量为×＝×；…过滤n次后的杂质含量为×(n∈N*).故y与n的函数关系式为y＝×(n∈N*).(2)由(1)知当n＝7时，y＝×＝>，当n＝8时，y＝×＝<，所以至少应过滤8次才能使

8、产品达到市场要求.规律方法　指数函数在实际问题中的应用(1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题.(2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型.【训练1】　春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天.解析　假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x

9、的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半.答案　19题型三　指数函数性质的综合应用【例3】　已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数.(1)求a的值；(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围.解　(1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即a＋＝0，∴a＝－.(2)由(1)知f(x)＝－＋，故f(x)在R上为减函数.(3)∵f(x)为奇函数，∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可

10、化为f(t2－2t)k－2t2，即3t2