高中数学第2章基本初等函数（Ⅰ）2.1.2指数函数及其性质（第2课时）指数函数及其性质的应用学案新人教A版

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1、第2课时　指数函数及其性质的应用学习目标核心素养1．掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点)2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养.利用指数函数的单调性比较大小【例1】　比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)．[解]　(

2、1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1，0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1.(4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3

3、；当01和0

4、象，再分别取x＝，x＝，比较对应函数值的大小，如图)，利用指数函数的单调性解不等式【例2】　(1)解不等式≤2；(2)已知ax2－3x＋10，a≠1)，求x的取值范围．[解]　(1)∵2＝，∴原不等式可以转化为≤.∵y＝在R上是减函数，∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x

5、x≥0}．(2)分情况讨论：①当00，a≠1)在R上是减函数，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5；②当a>1时，函数f

6、(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋15；当a>1时，－1ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇔2．若ax＋1>(a>0且a≠1)，求x的取值范围．[解]　因为ax

7、＋1>，所以ax＋1>a3x－5，当a>1时，y＝ax为增函数，可得x＋1>3x－5，所以x<3；当03.综上，当a>1时，x的取值范围为(－∞，3)；当0

8、x

9、，y＝的单调性，并写出相应单调区间．提示：2．结合探究1，分析函数y＝2

10、x

11、与函数y＝

12、x

13、的单调性是否一致？提示：y＝2

14、x

15、的单调性与y＝

16、x

17、的单调性一致．3．函数y＝

18、a－x2(a>0，且a≠1)的单调性与y＝－x2的单调性存在怎样的关系？提示：分两类：(1)当a>1时，函数y＝a－x2的单调性与y＝－x2的单调性一致；(2)当0

19、x－1)2－1≥－1，∴y＝，u∈[－1，＋∞)，∴0<≤＝3，∴原函数的值域为(0，3]．把本例的函数改为“f(x)＝2－x2＋2x”，求其单调区间．[解]　函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函