新人教A版必修1高中数学第2章基本初等函数Ⅰ2.1.2指数函数及其性质第2课时指数函数及其性质的应用学案 .doc

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1、第2课时　指数函数及其性质的应用学习目标核心素养1．掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点)2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养.利用指数函数的单调性比较大小【例1】　比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)．[解]　(1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x

2、的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1，0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1.(4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；当0

3、时构造指数函数，根据其单调性比较．(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小．(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较．(4)当底数含参数时，要按底数a>1和0

4、a>0，a≠1)，求x的取值范围．[解]　(1)∵2＝，∴原不等式可以转化为≤.∵y＝在R上是减函数，∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x

5、x≥0}．(2)分情况讨论：①当00，a≠1)在R上是减函数，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5；②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋15；当a>1时，－1

6、.-6-1．利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．2．解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇔2．若ax＋1>(a>0且a≠1)，求x的取值范围．[解]　因为ax＋1>，所以ax＋1>a3x－5，当a>1时，y＝ax为增函数，可得x＋1>3x－5，所以x<3；当03.综上，当a>1时，x的取值范围为(－∞，3)；当0

7、＋∞)．指数型函数单调性的综合应用[探究问题]1．试结合图象，分析y＝2－x，y＝2

8、x

9、，y＝的单调性，并写出相应单调区间．提示：2．结合探究1，分析函数y＝2

10、x

11、与函数y＝

12、x

13、的单调性是否一致？提示：y＝2

14、x

15、的单调性与y＝

16、x

17、的单调性一致．3．函数y＝a－x2(a>0，且a≠1)的单调性与y＝－x2的单调性存在怎样的关系？提示：分两类：(1)当a>1时，函数y＝a－x2的单调性与y＝－x2的单调性一致；(2)当0

18、]　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝在(－∞，＋∞)上递减，∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝，u∈[－1，＋∞)，∴0<≤＝3，∴原函数的值域为(0，3]．把本例的函数改为“f(x)＝2－x2＋2x”，求其单调区间．[解]　函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是

19、增函数．当x∈[1，＋∞)时，函数u＝