第16讲直线,圆与椭圆的综合运用(教师)

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1、专题5解析几何第16讲直线、的综合运用一.瞄准高考1.定值问题如來曲线中某些量不依赖于变化元索而存在，则称为定值，探讨定值的问题可以为解答题,也可以为证明题，求定值的基本方法是：先将变动元索用参数表示，然后计算出所盂结果与该参数无关；也可将变动元素置于特殊状态下，探求出定值，然麻再予以证明，因为毕竟是解析几何中的定值问题，所以讨论的立足点是解析儿何知识,工具是代数、三角等知识,基本数学思想与方法的体现将更明显,更逼真.2.探索性问题存在型探索性问题，是指判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)不确定的问题.这类问题常常出现“是否存在”、“是

2、否有”等形式的疑问句，以示结论有待于确定•解答此类问题的思路是：通常假设题中的数学对彖存在(或结论成立)或暂且认可其中一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若山此导出才盾，则否定假设;否则，给出肯定结论的证明.即：“假设——推证——定论”是解答此类问题的三个步骤.3.最值问题圆锥曲线中的最值问题是高屮数学的重要内容,试题把代数、三角和几何等有机结合起来，问题具有高度的综合性和灵活性.常用的方法有：⑴利用定义求解；(2)构造基木不等式；(3)利用数形结合；(4)构造函数等.4.范围问题求解析儿何中的有关范围问题，往往通过类比、联想、转化、合理地构造函数

3、，然后去分析、研究问题，转化问题和解决问题.对于圆锥1111线上一些动点，在变化过程屮会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线段长度与小b、C.£之间构成函数关系,函数思想在处理这类问题时非常有效.二.解析高考题型一定点、定值、最值问题22例1已知直线X—2y+2=0经过椭圆C：”+”=l(a>b>0)的左顶点A和上顶点D,椭MC的右顶点为5点S是椭闘C上异于力、B的动点，直线AS,BS与椭関C的右准线/分别交于M,N两点.记M.N两点的纵处标分别为y、必.(1)求椭圆C的方程；(2)求证：阳2•为定值；(3)求线段MN的长度的最小值.(4)试问以

4、MN为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标;若不过定点，请说明理由.【解析】(1)解：如图,由题意得椭圆C的左顶点为/(—2,0),上顶点为0(0,1),即a=2,b=L故椭圆C的方程为^+y2=.(2)直线AS的斜率显然存在且不为0,设总线AS的方程为y=«x+2)伙>0),解得M学，¥)用将直线方程代入椭鬪C的方程，得(1+4疋用+16心+16疋一4=0.16(2—4设S(X]』]),由根与系数的关系得(一2)・x]=]+4严•—2—肿4k"了2-肿4k、由此得匸莎丿尸匸市,即gpTwJ-又3(2,0),则直线BS的方程为y=一击(x—2),

5、联立直线亦与/的方程解得A｛罟，一寺)

6、丁+韵=号+扫寸号毎=§当且仅当晋=点即£=*时等号成立，故当斤詁时，线段MN的长度的最小值是》【拓展提升】⑴以肓线与圆锥曲线的位置关系为载体，以不等式或导数为T具，考查圆锥曲线的最值、参数范围、不等式论证等问题，是近年高考的热点内容.这类问题综合性强、能力要求高、解法灵活，值得关注.⑵木题涉及到最值问题时,可先建立问题(即而积)的函数关系式，然后根据其结构特征,运用函数的维调性或基木不等式去获解.求解时应掌握消元技巧,尽虽利用根与系数的关系去简化解题过程，提高运算速度和准确度.(3)是值问题同证明题类似，在求定值之

7、前已知道定值结果(题中未告知，可采用特殊值处理),首先大胆设参(有时甚至要设两个参数)，运算到报后，必定参数统消，定值显现.题型二探索性问题例2已知圆K过定点/(°,0)(°>0),圆心K在抛物线C：y=2ax上运动，加为圆K在y轴上截得的弦.(1)试问MN的长是否随鬪心K的运动而变化？⑵当

8、CM

9、是

10、0側与

11、0"的等差中项时抛物线C的准线与圆K冇管样的位置关系【解答】⑴设圆心K(x(),y°),且yo=2axo,圆K的半径R=

12、AK

13、=7(x。—界+£=也汁a[・・・

14、MN

15、=2^/r2-x5=2^+a2-x5=2a(定值)，・••弦MN的长不随圆心K的

16、运动而变化.(2)设M(O,y】)、N(0,y2)在圆K：(X—x0)2+(y—yo)2=Xo+a2中，令x=0,得y~—2yoy+y&—a~=0,・；yiy2=y6—a",•・・

17、0A

18、是

19、0M

20、与

21、0N

22、的等差中项.・・・

23、OM

24、+

25、ON

26、=

27、y】

28、+

29、y2

30、=2

31、OA

32、=2a.又

33、MN

34、=

35、y!-y2

36、=2a,A

37、y!

38、+

39、y2

40、=

41、y!-y2

42、,.,.y1y2<0,

43、±l此yo~a2<0,BP2ax0—a2<0,/.0

44、.圆心K到抛物线准线的距离d=x0+

45、a.且以上两式不能同时取等号，故関K必与准

46、线相交.【点评】要善于从木质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综