直线和圆的综合运用

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1、直线和圆的综合运用【高数的由来】据说在1669年，牛顿在剑桥大学升为数学教授。当时学校资金紧张，包括牛顿大部分教职工薪水已欠数月。为解决此问题，牛顿潜心研究创立了微积分,将一门名叫“高等数学”的新科口设为全校的必修课，并规定不及格者来年必须缴费重修直到通过。很快教师们的工资发了下来一、知识点回顾1、圆的方程(1)圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。(2)鬪的方程①标准方程(x-6/)2+(y-&)2=r2,圆心(d,b),半径为r；②一般方程x2+y2+Dx+Ey^F=0当D

2、2+£2-4F>0W,力程表示圆，此时圆心为(-2,_弓，半径为r=>2+£2-4F当P2+E2-4F=0时，表示一个点；当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形。③求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个I员I需要三个独立条件，若利用関的标准方程，需求出a,b,r；若利用一般方程，需要求出D,E,F；另外要注意多利用圆的儿何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此來确定圆心的位置。2、直线与园的位置关系直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：I、设直线I:Ax+By+C=0

3、.圆C:—+(y-/?尸=兀，圆心C(a,b)到/的距离为昇皿+助+c

4、,则有d>厂<=>/与C相离；d二厂o/与C相切；与C相交II、设直线/:Ar+By+C=0,圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2»先将方程联立消元,得到一个一元二次方程Z后：令其中的判别式为△,则有A<0<=>/与C相离；△=()<=>/与C相切；△>0o/与C相交注：如果圆心的位置在原点，可使用公式赵()+厂()=厂2去解直线打圆相切的问题，其中(刃)，丿0)表示切点坐标，r表示半径。III、过圆上一点的切线方程：①圆x2-f-y2=f,圆上一

5、点为(xu,y0),则过此点的切线方程为XT。+yy{)=八(课本命题)。②圆(xp)2+(y-b)T,圆上一点为(x。,如，则过此点的切线方程为(xo-a)(x-a)+(y(rb)(y-b)二r(课木命题的推广)。3>圆与圆的位置关系通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的人小比较来确定。设圆C]:(x-)2+(y-bJ2=r2,C2:(x—a2)2+(y—Z?J=R2两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的人小比较来确定。当d〉R+r时两圆外离，此时有公切线四条当d=/?+厂时两圆外切，连心线

6、过切点，有外公切线两条，内公切线一条当R-r

7、一种是例题中的求法，即把含参数的项分离后合并在一起，得到方程组求解；另一种是给加取两个特殊值，如加=-m=-1,可直接解得x,y的值，即为定点坐标.另外，解决弦长问题时，可画图，数形结合利用弦心距、弦长、半径的关系求解.【变式训练】若函数/W=—+占的图象在x=0处的切线/与圆C：,+),2=1相离，则b)与圆C的位置关系是()A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不能确定题型二和圆有关的对称问题【例2】设0为坐标原点，曲线x2+/+2x-6y+l=0上冇两点P、Q关于直线x+my+4=()对称，又满足乔・0Q=().(1)

8、求m的值;(2)求直线PQ的方程.【方法归纳】平面向量与圆的交汇是平面解析几何的一个热点内容.解题时，一方面要能够正确地分析用向量表达式给出的题目的条件，将它们转化为图形中相应的位置关系，另一方面还要善于运用向量的运算解决问题.【变式训练】已知圆,+)，2=9与圆?+y2-4x+4y-l=0关于直线I对称，则直线I的方程为()A.4x—4)*—1=0B.x—)=0C.x+y=0D.x—y—2=0题型三与圆有关的最值问题【例3】已知实数兀、y满足方程x2+/-4x+1=0.(1)求*的最大值和最小值；⑵求y—x的授大值和授

9、小值；(3)求/+/的最大值和最小值.【方法归纳】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地，①形如v一h卩=」的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t=ax^by的最值问题，可a转化为动直线截距的最值问题；③形如m=(x-a)2^(y-b)2的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题