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1、第6讲:开放性与探索性问题★★【概述】所谓探索性问题，是从问题给定的题设条件中探索其相应的结论并加以证明，或从给定的题目要求中探索相应的条件和存在性。开放性问题是相对传统封闭题（问题条件完备、结论确定）而言的，它具有条件不完整、结论不确定（或不唯一）、解决方案多样化等特点。开放性、探索性题目涉及知识面广，综合性强，要求学生具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力，已作为压轴题或次压轴题型之一。通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型：§1、条件探索型：结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目.§2、结论探索型：给定条件但无明确结论或结论不惟一，需探索发现与之相应的结论
2、的题目.§3、存在探索型：在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目.§4、规律探索型：在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目.★★【探究性问题的解题策略】:（1）大胆猜想，小心求证；（2）观察分析，全面探究；（3）多练习，勤总结。通常可尝试以下方法：§1、用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得岀规律.§2、反演推理法（反证法），即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致.§3、分类讨论法.当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，贝IJ按可能出现的情况做到
3、既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果.§4、类比猜想法.即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证.★★【典型例题解析】【考点题型11条件开放与探索型：【例如图，D为ZkABC边AB上一点，满足条件时，△ADCsAACB・【例2］（呼和浩特市）在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E,F,G,H,构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD添加一个条件，使四边形EFGH成为一个菱形.这【例3】（成都）已知A、Q是一段圆弧上的两点，且在直线0的同侧，分别过这两点作0的垂线，垂足为B、C,E是BC上一动点，连
4、接AD.AE.DE,且ZAED=90°o（1）如图①，如果AB=6,BC=16,且B£:CE=1:3,求AD的长；（2）如图②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB.BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明。再探究：当A、D分别在直线0的两侧且AB^CD,而其余条件不变时，线段AB.BC、CD之间有怎样的等量关系？直接写出结论，不必证明。♦目标训练1:1、如图：已知AC=BD,要使ZABC^ADCB,只需增加的一个条件是;2、若X-°兀+6在整数范围内可分解因式，则整数d的值是（填一个）.3、有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是
5、x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也为整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3请你写出一个满足上述全部特点的二次函数：；4、如图，4B是OO的直径，EF是（DO的切线，切点是C,点、D是EF上一个动点,连接AD.试探索点D运动到什么位置时，AC是ZBAD的平分线，请说明理由.【考点题型2】结论开放与探索型：【例4】（北京市）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义:至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在厶ABC中，点DE分别在4B,AC上
6、，设CDBE相交于点0,若厶1=60°,ZDCB=ZEBC=-ZA.请你写出图中一个与乙4相等的角，并猜想图中哪2个四边形是等对边四边形；（3）在△4BC中，如果ZA是不等于60°的锐角，点DE分别在4B,AC上，且ZDCB=ZEBC=-ZA・探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,人并证明2AE你的结论./♦目标训练2：如图1,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用Si、S2、S3表示，则不难证明Si=S2+S3.（1）如图2所示，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S】、S2、S3表示，那么S】、S2、S3之间有什么
7、关系？（不必证明）（2）如图3所示，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用Si、S2、S3表示，请你确定S】、S2、S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为&、S2、Ss表示，使Si、S2、S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？并证明你的结论；（4）类比（1）、(2)、（3）的结论，请你总结岀一个更具一般意义的结论.【考点题型3】存在性探索问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的
