（浙江专用）高考数学第八章平面解析几何第七节双曲线教案（含解析）

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1、第七节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M

4、

5、

6、MF1

7、－

8、MF2

9、

10、＝2a}，

11、F1F2

12、＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.(1)当2a＜

13、F1F2

14、时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝

15、F1F2

16、时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a＞

17、F1F2

18、时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1

19、(a＞0，b＞0)图形性质范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长

20、A1A2

21、＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长

22、B1B2

23、＝2ba叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长[小题体验]1．双曲线－＝1的焦距为________．解析

24、：由双曲线－＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝，所以双曲线－＝1的焦距为2.答案：22．(教材习题改编)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．解析：设要求的双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由椭圆＋＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－＝1.答案：x2－＝13．(2018·北京高考)若双曲线－＝1(a＞0)的离心率为，则a＝_

25、_______.解析：由e＝＝，得＝，∴a2＝16.∵a＞0，∴a＝4.答案：41．双曲线的定义中易忽视2a＜

26、F1F2

27、这一条件．若2a＝

28、F1F2

29、，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞

30、F1F2

31、，则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a＞0，b＞0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，)；若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝；若0＜a＜b，则双曲线的离心率e∈(，＋∞)．3．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的

32、a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±.[小题纠偏]1．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若

33、PF1

34、＝9，则

35、PF2

36、等于________．解析：由题意知

37、PF1

38、＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有

39、PF2

40、－

41、PF1

42、＝2a＝8，故

43、PF2

44、＝

45、PF1

46、＋8＝17.答案：172．以直线y＝±x为渐近线，且过点(

47、－，2)的双曲线的标准方程为________．解析：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨可设该双曲线的方程为2x2－y2＝λ.因为双曲线过点(－，2),所以6－4＝λ＝2，所以双曲线的方程为2x2－y2＝2，即其标准方程为x2－＝1.答案：x2－＝1[题组练透]1．(2019·金华调研)已知双曲线的一个焦点与圆x2＋y2－4y＝0的圆心重合，且其渐近线的方程为x±y＝0，则该双曲线的标准方程为(　　)A.－y2＝1　　　　　　B.－x2＝1C.－＝1D.－＝1解析：选B　由圆的方程知其圆心为(0

48、,2)，故双曲线的焦点在y轴上，设其方程为－＝1(a＞0，b＞0)，且a2＋b2＝4，　①又知渐近线方程为x±y＝0，∴＝，②由①②得a2＝3，b2＝1，∴双曲线方程为－x2＝1.2．(2018·海口二模)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是(　　)A.－y2＝1B.－＝1C．x2－＝1D.－＝1解析：选C　∵实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，∴＝tan60°＝，即b＝a，∵双曲线C：－＝1(a

49、＞0，b＞0)过点(，)，∴－＝1，即－＝1，解得a2＝1，∴b2＝3，故双曲线C的标准方程是x2－＝1.3．(2018·温岭模拟)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，且离心率等于，则该双曲线的标准方程为____________；渐近线方程为____________．解析：因为c＝3，所以e＝＝，解得a＝2，所以b2＝5.所以双曲线的标准方程为－＝1，其渐近线方程为y＝±x.答案：－＝1　y＝±x4．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标