（浙江专用）高考数学第八章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题教案（含解析）

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1、第九节圆锥曲线的综合问题1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时

2、，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．弦长公式设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

3、AB

4、＝

5、x1－x2

6、＝·＝·

7、y1－y2

8、＝·.[小题体验]1．(教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)A．相交　　　　　　　　　B．相切C．相离D．不确定解析：选A　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．

9、2．顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线截得直线y＝2x＋1所得的弦AB的长为，则该抛物线的标准方程为____________．解析：设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由方程组可得4x2＋(4－m)x＋1＝0.所以x1＋x2＝－，x1x2＝.所以

10、AB

11、＝＝＝，解得m＝12或m＝－4.所以抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－4x.答案：y2＝12x或y2＝－4x1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一

12、点．2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．[小题纠偏]1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)A．1条　　　　　　　　　　B．2条C．3条D．4条解析：选C　结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．2．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)A．1B．2C．1或2D．0解析：选A　因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，

13、所以它与双曲线只有1个交点．[典例引领]在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2,1)，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围．解：(1)设点M(x，y)，依题意

14、MF

15、＝

16、x

17、＋1，∴＝

18、x

19、＋1，化简得y2＝2(

20、x

21、＋x)，故轨迹C的方程为y2＝(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x(x≥0)，C2：y＝0(x＜0)．依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．联立消去x，可得ky2－4

22、y＋4(2k＋1)＝0.①当k＝0时，此时y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.当k≠0时，方程①的Δ＝－16(2k2＋k－1)＝－16(2k－1)(k＋1)，②设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③(ⅰ)若由②③解得k＜－1或k＞.所以当k＜－1或k＞时，直线l与曲线C1没有公共点，与曲线C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.(ⅱ)若即解集为∅.综上可知，当k＜－1或k＞或k＝0时，直线l与轨迹C恰好有一个公

23、共点．故实数k的取值范围为(－∞，－1)∪{0}∪.[由题悟法]1．直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．2．判定直线与圆锥曲线位置关系的注意点(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．(2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍

24、某些解以免产生增根．[即时应用]1．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为(　　)A．1　　　　　　　　　　　　B．1或3C．0D．1或0解析：选D　由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0，则y＝2，符合题意．若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k