浙江专用高考数学复习第九章平面解析几何9.6双曲线讲义含解析

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1、§9.6　双曲线最新考纲考情考向分析了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系.主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点.题型为选择、填空题.1.双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P＝{M

4、

5、

6、MF1

7、－

8、MF2

9、

10、＝2a}，

11、F1F2

12、＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<

13、F1F2

14、时，P点的轨迹是双曲线；

15、(2)当2a＝

16、F1F2

17、时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>

18、F1F2

19、时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴　对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长

20、A1A2

21、＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长

22、B1B2

23、＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

24、a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)概念方法微思考1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示　不一定.当2a＝

25、F1F2

26、时，动点的轨迹是两条射线；当2a>

27、F1F2

28、时，动点的轨迹不存在；当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.2.方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示　若A>0，B<0，表示焦点在x轴上的双曲线；若A<0，B>0，表示焦点在y轴上的双曲线.所以Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是AB<0.3.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b

29、只限制a>0，b>0，二者没有大小要求，若a>b>0，a＝b>0，0b>0时，10时，e＝(亦称等轴双曲线)，当0.题组一　思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　×　)(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　×　)(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　√　)(4)等轴双曲线的渐近

30、线互相垂直，离心率等于.(　√　)(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).(　√　)题组二　教材改编2.[P61T1]若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)A.B.5C.D.2答案　A解析　由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝＝5，∴e＝.3.[P61A组T3]已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线

31、C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)A.x±y＝0B.x±y＝0C.x±2y＝0D.2x±y＝0答案　A解析　椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.4.[P62A组T6]经过点A(4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.答案　－＝1解析　设双曲线的方程为－＝±1(a>0)，把点A(4，1)代入，得a2＝15(舍负)，故所求方程为－＝1.题组三　易错自纠5.已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为

32、4，则n的取值范围是(　　)A.(－1，3)B.(－1，)C.(0，3)D.(0，)答案　A解析　∵方程－＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2

33、m

34、＝4，解得

35、m

36、＝1，∴－10，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)A.B.C.D.答案　D解析　由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，∴25a

37、2＝9c2，∴e＝.故选