解题策略源于问题

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1、解题策略的谋划——清华大学黄高峰2006对于某一个具体的问题，如何思考分析，从而谋划策略，是十分重耍的。策略的谋划过程是一个思维发散的过程。问题本身千变万化，解决问题的策略也比较多，谋划策略的方法不一而足，根据人们的思维方式，我们论述以下几种谋划策略的思想。、降格思想：从对问题的特殊和简单状态的分析中归纳出问题的实质内涵或规律,从而得到问题的一般解法，也就是我们常说的投石问路或者叫做尝试归纳。这种通过特殊求得一般、通过实际求得抽象的思想在谋划策略的过程中是十分有效的，特别是当题口中所给的数据比较大或者很抽象而难以入手时，常用这种思想來谋划策

2、略。问题一：（台阶问题）一个人登上一个级的台阶，可以一步登级，也可以一步登级。问：一共有几种登法？这道题中的台阶数为，虽然不是很大，但一时也很难入手。我们运用降格思想分析这个问题，先看几种简单的情形：、仅有级台阶时，登法只有种：一步级。、有级台阶时，登法有种：一步级；级+级（两步）。、有级台阶时，登法有种：级+级+级；级+级；级+级。这里级+级表示先登级再登级；级+级表示先資级再資级，显然这两种登法是不同的。、有级台阶时，登法有种：级+级+级+级；级+级+级；级+级+级；级+级+级；级+级。、有级台阶时，登法有种：级+级+级+级+级；级+级

3、+级+级；级+级+级+级；级+级+级+级；级+级+级；级+级+级+级；级+级+级；级+级+级。按照台阶数递增的次序把登法的种数排列如下:容易想到这是菲波那契数列的一部分，这就找到了问题的规律，同时也谋划出解决问题的策略：数学模型（规律）策略。容易得到后继数据是：，，，，•…于是得到问题的解：级台阶共有种登法。当然，关于找到的规律的正确性必须给出详细的证明，这里不再详述。应用这个例子无非是为了说明从简单出发考虑问题的优越性，同时指岀，敏锐的洞察已有数据的能力对于谋划策略也是相当重要的。、升格思想：这种思想与第一种思想恰恰相反，它是把-•些过于

4、具体的问题抽象化，口的是忽略其中的一•些次要因素，从而更好地把握其屮的主耍因素，通过解决一般问题从而解决具体问题。有时会发生这样的情况：由于问题小给出的数据过于具体，往往会形成一•种思维定势，一直针对具体的数据进行分析，而忽视了问题小显而易见的东西。运用这一思想有利于突破思维定势，更快地找到解决问题的策略，其关键是在于对抽彖问题的分析和推理。我们把台阶问题抽彖化，设有级台阶，登台阶规则不变。对于登级台阶的最后一步有两种情况：（1）由第级台阶跨一步（级）到达第级；（2）由第级台阶跨一步（级）到达第级。显然，以上的两类登法是不同的，级台阶的总登

5、法就是这两类登法的总和。我们用表示级台阶的登法种数，则有：以及；。这就迅速地得到了问题的数学模型，也就谋划岀解决问题的策略：数学模型（规律）策略。从这个例子的分析小可以看出，对问题的抽彖概括，寻求问题的一般解法,对于某些问题的解决是I•分简便的。适当运用升格思想往往可以一箭屮的，迅速描述出问题的本质，从而得到解决问题的策略。、分格思想：把整个问题划分为几个相联系的子问题或几个连续的解题步骤，再一一设法解决，最后综合各个部分的解就可以得到整个问题的解。作为一种思维方法，在分析问题的时候恰当运用，对于谋划解题策略是很有效的。划分问题的方法有很多

6、利口最基本的原则是把难以描述的问题化为易于描述的问题，把不易求解的化为易求解的。仍是看上而的台阶问题，由登级台阶所用的步数不同，可以划分为如下的几种情况:、共要登步（全部都是每步登级）：有种登法；有28种登法有37种登法有46种登法、共要登步（只有某一步登级，其余每步登级）：有19种登法;、共要登步（只有某两步每步登级）、共要登步（只有某三步每步登级）、共要登步（只有某四步每步登级）、共要登步（全部都是每步登级）:有55种登法；因此总共的登法有种。通过上而的对问题划分的过程以及计算的结果的分析，我们可以得到以下的两种策略：（1）分治策略，直

7、接仿照上而的划分过程由计算机加以实现。（2）数学模型（规律）策略，从小归纳出：对于级台阶的登法有种。通过上而的例子可以看出：分格思想关键在一个分字，也就是如何划分问题，划分小应注意两点：1、划分必须根据统一的标准，不重复，不遗漏；2、划分必须具有启发性，即对于谋划问题的策略有一定的启发作用。、变格思想：通过转换问题某些信息，从而转化问题的形式，达到化显为隐、化繁为简、化难为易、化未知为已知的口的，通过解决等效问题来解决原问题。再看上而的台阶问题，我们运用变格思想对问题进行转化，考虑人在台阶上的位置变化，比如：人处于第1台阶上时，若一步登1级

8、就可以到达第2级台阶；若一步登2级就可以到达第3级台阶。我们用点表示每一级台阶，用边表示台阶Z间可以一步到达的关系，就可以得到下面的图：于是，问题就转化为：在图屮，求从点到点的所