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《高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理教材梳理素材新人教A版选修4-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、周角定理庖丁巧解牛知识•巧学一、圆周角定理圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.应当注意的是，圆心角与圆周角一定是对着同一条弧，它们才有上而定理小所说的数量关系.疑点突破在圆周角定理的证明中，运用了数学中分类讨论和化归的思想以及完全归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的：当角的一边过圆心时，得到圆周角与同弧上的圆心角的关系;然后研究当角的一边不经过圆心时，圆周角与同弧上的圆心角Z间的关系.在角的一边不经过圆心时，乂有两种情况:一是圆心在圆周角内；二是圆心在圆周角外.经过这样分不同情况的讨论，最后得到不论角的i边是否经过圆心，
2、都有定理中的结论成立.在几何里，许多定理的证明，都需要像这样分情况进行，后面还会遇到这种分情况证明的定理.方法归纳通过对这个定理的分析、证明，我们可以看到，在几何里讨论问题时，常常从特殊情况入手，因为特殊情况下的问题往往容易解决，如图2-1-2屮，屮间一种情况为圆周角的一边经过圆心，此时ZA0B=2ZC很容易证明.特殊情况下的问题解决之后，再想办法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题，如图2-1-2左图和右图的情况,通过辅助线,把它们变成中间那样的两个角的和或差，这样利用特殊情况下的结论，便可使一般情况下的结论得证.联想发散定理也可理解成一条弧所
3、对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.图2-1-2二、圆周角定理的两个推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆屮，相等的圆周角所对的弧也相等.如图2-1-3,ZABE二ZACE二ZADE,ZA二ZB二ZC.图2-1-3图2-1-4推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.如图2-1-4,ZACB=ZADB=ZAEB=90°，八B是直径.深化升华圆周角定理及其推论是进一步推导圆的其他重要性质的理论根据，而且为角的计算，推证角相等、弧相等、眩相等，判定相似三角形、直角三角形等平面
4、几何中常见的一些问题提供了十分简便的方法，学习中要注意体会.问题・探究问题1在一个圆中，圆周角与它所对的弧的对应关系在解决问题当中有什么作用？实践中如何加以应用？思路:在圆中，只要有弧，就存在着弧所对的圆周角.同弧所对的圆周角相等，而相等的角为儿何命题的推论提供了条件.图2-1-6探究:在刚刚学习圆的知识或图形比较复杂时，往往缺少用这个知识点的意识，应该在实践中不断摸索和总结规律.比如由弧找角，如图2-1-5中，已知Rb，那么在Sh所对的圆周上任収一点都可得到相等的圆周角ZC=ZD=ZE.也可以由角找弧，再由弧找角，如图2-1-6中，AD平分ZBAC
5、,得Z1二Z2,Z1对亦，Z2对环，Z3也对Q),故ZUZ2二Z3,如果要证厶DCB-ADAB,无疑两个相等的角为此提供了条件.图2-1-5问题2在圆中，直径所对的圆周角等于90°,解决问题时应怎样利用这一条件？思路:只要在已知中给出了直径这一条件，不仅要想到它和半径的关系，还要想到封闭了它所对的圆周角，便得到了直角三角形，这样有关直角三角形的性质便可应用了.探究：如图2-1-7,以CD为直径的00交AACD的两边于B、E,连结BE.求证：ADcosA二AB.此题必须先证AD、AB所在的AABD为直角三角形，此时连结BD,可由直径所对的圆周角为90°
6、，创造所需的条件•又如图2-1-8,在©0中，直径AB丄CD,弦AE丄CF•要证△ABE^ACDF,在已知ZA二ZC,AB二CD以后，还缺少一个条件，由AB、CD为直径，想到连结BE、CF,便可知ZE二ZF二90°,这就为证三角形全等提供了条件.图2-1-7图2-1-8典题・热题例1如图2-1-9,已知00中ZA0B二2ZB0C,求证：ZACB=2ZBAC.思路分析：圆周角ZACB与圆心角ZA0B对着同一条弧，图2-1-9・・・ZACB=丄ZAOB.同理，ZBAC=丄ZBOC,再利用已知条件可得结论.22证明：TZACB二丄ZAOB,2ZAOB=2Z
7、BOC,・・・ZACB=ZBOC.又VZBAC=-ZBOC,2・・・ZACB二2ZBAC.深化升华只要是在圆中考查角的关系，那么就要考虑弧的中介作用.例2如图2-1-10,在RtAABC屮，ZBCA二90°,以BC为直径的交AB于E点，D为AC的中点，连结BD交于F点.图2-1-10CF~EF'思路分析：要证竺=竺，虽然四条线段分别在ABEF与ABCF中，但这两个三角形一个BEEF是钝角三角形，另一个是直角三角形，不可能相似，故只能够借助中间比.证明：连结CE,TBC为00的直径，AZBFC=90°,ZBEC=90°.又VZACB=90°,AZBCE
8、=ZA.又VZBFE=ZBCE,.,.ZBFE=ZA.AT)EF:.ABEF^ABAD.A——=——BDBE
