高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理同步指导练习新人教a版

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1、一圆周角定理一、基础达标1.如图，D是的中点，与∠ABD相等的角有(　　)A.7个B.3个C.2个D.1个解析　与∠ABD相等的角分别为∠CBD，∠ACD，∠CAD.答案　B2.如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是(　　)A.80°B.100°C.120°D.130°解析　∵∠AOB＝100°，∴所对圆心角为260°，∴∠ACB＝130°.答案　D3.如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，那么等于(　　)A.sin∠BPDB.cos∠BPDC.tan∠BPDD.以上答案都不对解析　连接BD，由BA是直径，知△ADB是直角三角

2、形.根据△CPD∽△APB，＝＝cos∠BPD.答案　B4.弦BC分⊙O为1∶3两部分，⊙O的直径等于4，则BC＝________.解析　由圆心角定理∠BOC＝×360°＝90°，∴BC＝＝2.答案　25.如图所示，A，B，C，D是⊙O上四点，且D是的中点，CD交OB于E，∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，则∠OEC＝________.解析　∵∠AOB＝100°，且D是的中点，∴∠BCD＝25°.∴∠OEC＝∠B＋∠BCD＝80°.答案　80°6.如图所示，在⊙O中，直径AB＝10cm，弦BC＝8cm，点D是的中点，连接AC，AD，BD.(1)求AC和BD的长；(2

3、)求四边形ADBC的面积.解　(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.∵AB＝10，BC＝8，∴在Rt△ABC中，AC＝＝6(cm).∵点D是的中点，∴＝，∴AD＝BD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD＝AB·sin45°＝10×＝5(cm).(2)由(1)知S四边形ADBC＝S△ABC＋S△ABD＝×AC×BC＋AD2＝×6×8＋×(5)2＝49(cm2).二、能力提升7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则此三角形的外接圆的半径为(　　)A.B.2C.2D.4解析　由圆周角定理推论2知：AB为Rt△ABC的外接圆直径，又∵AB

4、＝＝4，故外接圆半径r＝AB＝2.答案　B8.在半径为6cm的圆中，6cm长的弦所对的圆心角等于________.解析　6cm长的弦的端点与圆心构成等边三角形，故此弦所对的圆心角为60°或120°.答案　60°或120°9.如图所示，AB是⊙O的直径，D是的中点，∠ABD＝20°，则∠BCE＝________.解析　如图所示，连接AD，DE，∵∠ABD＝20°，∴∠AED＝20°，又D是的中点，∴∠DAC＝∠DEA＝20°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DCA＝70°，∴∠BCE＝70°.答案　70°10.(2016·江宁一中单元测试)如图，BC为圆O的直

5、径，AD⊥BC，＝，BF和AD相交于点E，求证：AE＝BE.证明　∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC为直角.又AD⊥BC，∴Rt△BDA∽Rt△BAC.∴∠BAD＝∠ACB.∵＝，∴∠FBA＝∠ACB.∴∠BAD＝∠FBA.∴△ABE为等腰三角形，∴AE＝BE.11.已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径.求证：∠BAE＝∠DAC.证明　连接BE，因为AE为直径，所以∠ABE＝90°.因为AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90°.所以∠ADC＝∠ABE.因为∠E＝∠C，所以∠BAE＝180°－∠ABE－∠E，∠DAC＝180°－∠ADC－∠C.所以∠BAE＝∠

6、DAC.三、探究与创新12.如图，AD是⊙O内接三角形ABC的高线，E为的中点.求证：∠OAE＝∠EAD.证明　法一　显然∠BAE＝∠CAE，只要证得∠BAO＝∠CAD，就间接证得∠OAE＝∠EAD.故延长AO交⊙O于F点，连接BF，如图①，得∠ABF为直角，又由∠C＝∠F，可得∠BAO与∠CAD相等.法二　若要直接证∠OAE＝∠EAD，就需要把它们设置成圆周角，因此把AO，AD均延长，分别交⊙O于F点和G点，连接FG，如图②，可证得FG∥BC，由平行直线所夹的弧相等则有＝，又＝，∴＝.∴∠FAE＝∠GAE.法三　如图③，寻找第三个角，利用等量代换来证∠OAE＝∠EAD

7、，故连接OE，利用垂径定理得OE⊥BC，进而易知OE∥AD，可得∠E＝∠DAE；同时，在等腰三角形OAE中∠OAE＝∠E，∴∠OAE＝∠DAE.