高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理成长学案新人教a版选修4

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1、一圆周角定理主动成长夯基达标1.下面是关于圆周角定理的句子,表述简明的一项是…（　　）A.一条弧所对的圆周角等于这个圆上的弧所对的圆心角的一半B.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半C.一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半D.圆上的一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半思路解析:本题就一条数学定理的表述考查我们的语感.显然A有些啰嗦,C太略而不具体,D含混不清,唯B简扼明了.答案:B2.如图2-1-14,已知AB是半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,那么等于（　　）图2-1-14思路解析:本题主要考查直径所对的圆周角是直角,同时也考查了三角

2、形相似及性质和锐角三角函数的定义.解这道题的关键是将转化为某一直角三角形中两条线段之比,再根据三角函数定义来判断.连结BD,由BA是直径,知△ADB是直角三角形.根据△CPD∽△APB,==cos∠BPD.答案:BA.sin∠BPDB.cos∠BPDC.tan∠BPDD.cot∠BPD3.已知D、C是以AB为直径的半圆弧上的两点,若所对的圆周角为25°,所对的圆周角为35°,则所对的圆周角为.思路解析:本题中C、D两点的位置有两种情况,如图所示,利用圆周角与所对弧的度数的关系,即可得到结果.答案:30°或80°4.如图2-1-15,已知AB是

3、⊙O的直径,半径OC⊥AB,过OC的中点D作弦EF∥AB.求∠ABE的度数.图2-1-15思路分析:要求圆周角∠ABE,先求同弧所对的圆心角∠AOE,由EF∥AB,则只需求∠DEO,这可以在Rt△EDO中利用直角三角形的性质求解.解:连结EO,∵EF∥AB,∴∠AOE=∠DEO.∵D为OC中点,OC、OE均为半径,∴.又OC⊥AB,EF∥AB,∴ED⊥OD.∴∠DEO=30°.∴∠AOE=30°.∴∠ABE=15°.5.如图2-1-16,已知△ABC内接于⊙O,AD是⊙O的直径,CE⊥AD,E为垂足,CE的延长线交AB于F.求证:AC2=A

4、B·AF.图2-1-1-6思路分析:欲证AC2=AB·AF,只需证=.因此只要证△ABC∽△ACF,在这两个三角形中,有一个公共角∠BAC,再找一组对应角即可.证明:连结BD,∵AD是⊙O的直径,∴∠BAD+∠D=90°.又CE⊥AD.∴∠BAD+∠AFC=90°.∴∠D=∠AFC.又∠D=∠ACB,∴∠AFC=∠ACB.又∵∠BAC=∠CAF,∴△ABC∽△ACF,∴=,即AC2=AB·AF.6.如图2-1-17,已知在⊙O中,直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD和BD的长.图2-1-17思路分析:

5、本题要求三线段BC、AD和BD的长,可以把这三条线段转化为直角三角形的直角边问题,由于已知AB为⊙O的直径,可以得到△ABC和△ADB都是直角三角形,又因为CD平分∠ACB,所以可得AD=DB,可以得到弦AD=DB.这时由勾股定理可得到三条线段BC、AD、DB的长.解:∵AB为直径,∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ABC中,.∵CD平分∠ACB,∴AD=DB.在等腰直角三角形ADB中,AD=BD=.7.如图2-1-18,已知△ABC的外接圆中,D、E分别为与的中点,弦DE交AB、AC于F、G.求证:AF=AG.图2-1-18思路分析:可以通过

6、等角对等边来证明此题,即证明∠AFG=∠AGF,将∠AFG、∠AGF分别看作△FBE与△DGC的外角,利用已知中D、E为AB、AC的中点可以证明角相等.证明:连结BE、CD,∠AFE=∠1+∠2,又∠1+∠2=,∴∠AFG=.∴∠AGD==m∠3+∠4.∵D、E为AB、AC中点,∴AE=EC,AD=DB.∴∠AFG=∠AGF.∴AF=AG.走近高考8.△ABC内接于⊙O,AB=AC,D为BC上一点,E是直线AD和⊙O的交点,（1）求证:AB2=AD·AE.（2）当D为BC延长线上一点时,（1）问中的结论还成立吗？若成立,请证明;若不成

7、立,试说明理由.图2-1-19思路分析:（1）连结BE,证明△ABD∽△AEB即可.（2）连结BE,仍然可以通过证明△ABD∽△AEB得出结论.证明:（1）如图(1),连结BE.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ACB=∠AEB,∴∠ABC=∠AEB.又∵∠BAE为公共角,∴△ABD∽△AEB.∴AB∶AE=AD∶AB,即AB2=AD·AE.（2）如图(2),连结BE,结论依然成立,证法同（1）.9.如图2-1-20,足球场上有句顺口溜:“冲向球门跑,越近就越好;歪着球门跑,射点要选好.”可见踢足球是有“学问”的.在足球比赛中,

8、甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻,当甲带球冲到A点时,乙已跟随冲到B点,