高中数学第2讲直线与圆的位置关系1圆周角定理学案新人教a版选修4

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1、一　圆周角定理1．理解圆周角定理及其两个推论，并能解决有关问题．(重点、难点)2．了解圆心角定理．[基础·初探]教材整理1　圆周角定理及其推论阅读教材P24～P26，完成下列问题1．圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．3．推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．如图211，在⊙O中，∠BAC＝60°，则∠BDC＝(　　)图211A．30°B．45°　　　C．60°　　　D．

2、75°【解析】　在⊙O中，∠BAC与∠BDC都是所对的圆周角，故∠BDC＝∠BAC＝60°.【答案】　C教材整理2　圆心角定理阅读教材P25～P26，完成下列问题．圆心角的度数等于它所对弧的度数．在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是(　　)【导学号：07370028】A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【解析】　弦所对的圆心角为60°，又弦所对的圆周角有两个且互补，故选B.【答案】　B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

3、疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]　利用圆周角定理和圆心角定理进行计算　在半径为5cm的圆内有长为5cm的弦，求此弦所对的圆周角．【精彩点拨】　过圆心作弦的垂线构造直角三角形．先求弦所对的圆心角度数，再分两种情况求弦所对的圆周角的度数．【自主解答】　如图所示，过点O作OD⊥AB于点D.∵OD⊥AB，OD经过圆心O，∴AD＝BD＝cm.在Rt△AOD中，OD＝＝cm，∴∠OAD＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，∴∠ACB＝∠AOB＝60°.∵

4、∠AOB＝120°，∴劣弧的度数为120°，优弧的度数为240°.∴∠AEB＝×240°＝120°，∴此弦所对的圆周角为60°或120°.1．解答本题时应注意弦所对的圆周角有两个，它们互为补角．2．和圆周角定理有关的线段、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过比例线段，相似比来计算．[再练一题]1．如图212，已知△ABC内接于⊙O，＝，点D是上任意一点，AD＝6cm，BD＝5cm，CD＝3cm，求DE的长．图212【解】　∵＝，∴∠ADB＝∠CDE.又∵＝

5、，∴∠BAD＝∠ECD，∴△ABD∽△CED，∴＝，即＝.∴DE＝2.5cm.　直径所对的圆周角问题　如图213所示，AB是半圆的直径，AC为弦，且AC∶BC＝4∶3，AB＝10cm，OD⊥AC于D.求四边形OBCD的面积．图213【精彩点拨】　由AB是半圆的直径知∠C＝90°，再由条件求出OD，CD，BC的长可得四边形OBCD的面积．【自主解答】　∵AB是半圆的直径，∴∠C＝90°.∵AC∶BC＝4∶3，AB＝10cm，∴AC＝8cm，BC＝6cm.又∵OD⊥AC，∴OD∥BC.∴OD是△ABC的中位

6、线，∴CD＝AC＝4cm，OD＝BC＝3cm.∴S四边形OBCD＝(OD＋BC)·DC＝×(3＋6)×4＝18cm2.在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度，又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等.[再练一题]2.如图214，已知等腰三角形ABC中，以腰AC为直径作半圆交AB于点E，交BC于点F，若∠BAC＝50°，则的度数为(　　)【导学号：07370029】图214A．25°　　　B．50°C．100°D．120°【解

7、析】　如图，连接AF.∵AC为⊙O的直径，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥BC.∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠BAC＝25°，∴的度数为50°.【答案】　B[探究共研型]圆周角定理探究1　圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？【提示】　不一定相等．一般有两种情况：相等或互补，弦所对的优弧与所对劣弧上的点所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补．探究2　“相等的圆周角所对的弧相等”，正确吗？【提示】　不正确．“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立，如图．若

8、AB∥DG，则∠BAC＝∠EDF，但≠.　如图215，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.图215(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．【精彩点拨】　(1)通过证明角相等来证明三角形相似．(2)利用(1)的结论及面积相等求sin∠BAC的大小，从而求∠BAC的大小．【自主解答】　(1)证明：由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB