高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 一 圆周角定理课堂探究 新人教a版选修4-1

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1、一圆周角定理课堂探究探究一求线段的长求圆中线段长时，常先利用圆周角定理及其推论得到相似三角形，从而得到成比例线段，再列方程求得线段长．【典型例题1】如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠BAC的平分线与BC边和⊙O分别交于点D，E.(1)指出图中相似的三角形，并说明理由；(2)若EC＝4，DE＝2，求AD的长．解：(1)∵AE平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAC.又∵∠B＝∠E，∴△ABD∽△AEC.∵∠B＝∠E，∠BAE＝∠BCE，∴△ABD∽△CED，△AEC∽△CED.(2)∵△CED∽△AEC，∴＝.∴CE2＝ED·AE，∴16＝2AE，∴AE＝8.∴AD＝

2、AE－DE＝6.点评(1)本题证三角形相似，要用三角形相似的判定定理，而其中角的条件由同弧所对的圆周角相等得出；(2)要求线段长度，先由三角形相似得线段成比例，然后再求其长度．探究二证明线段相等有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧经常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等，这是证明圆中线段相等的常见策略．【典型例题2】如图，BC为圆O的直径，AD⊥BC，＝，BF和AD相交于E，求证：AE＝BE.思路分析：要证AE＝BE，只需在△ABE中证明∠ABE＝∠EAB，而要证这两个角相等，只需借助∠ACB即可．证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC为直角．又A

3、D⊥BC，∴Rt△BDA∽Rt△BAC.∴∠BAD＝∠ACB.∵＝，∴∠FBA＝∠ACB.∴∠BAD＝∠FBA.∴△ABE为等腰三角形．∴AE＝BE.点评若已知条件中出现直径，则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题．探究三易错辨析易错点：误认为同弦或等弦所对圆周角相等【典型例题3】如图所示，∠BAD＝75°，则∠BCD＝__________.错解：∵∠BAD和∠BCD所对的弦都是BD，∴∠BAD＝∠BCD.∴∠BCD＝75°.错因分析：错解中，没有注意到圆周角∠BAD和∠BCD所对的弧不相等，导致得到错误的结论∠BAD＝∠BCD.正解：∠BAD是所对的

4、圆周角，∠BCD是所对的圆周角，则所对的圆心角为2×75°＝150°.又和所对圆心角的和是周角360°，∴所对圆心角是360°－150°＝210°，∴所对圆周角∠BCD＝×210°＝105°.