高中数学——变化的快慢与变化率

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1、变化的快慢与变化率【教学目标】理解平均变化率的概念，会求具体函数的平均变化率，理解平均变化率的粛义.感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现翟的过程•体会数学的博大精深以及学习数学的意・【教学重点【教学难点【教学过程】理解平均变化率的概念与算・1理解平均变化率的概念及豳還・1问题物体从某一时刻开始运动，t表示此物体经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数，表示为S=S(t)•在运动过程中，测得如下数据t/S025101315•••s/m069203244••■物体在0〜2s和10-13s这两段时间内，哪一段时间运动得快?【分析】比较运动的快慢，一般用平均速度来刻画・6-

2、0_在0〜2s内，平均速度为：_=3(m/s),20_3220=在10-13s内，平均速度为:4(/)ms,__1310显然，在这两段时间内，后一屣时间比时间运动得快蝴一段时间曲物体的平均速度来刻画物△体运动的快慢内的，平均速度为:从时间to到ti时，物体的路程从s(to)变为s(ti),这段时间s(ti)s(t)0,函数变化量记作S,自变量变化量记作问题某病人吃完退烧药他的体温变化如图比较时间x从Omin到20min和从20min到30min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？00【答】从Omin到20min,体温从39C下降到38.5C；00从20min到30mi

3、n，体温从38.5C下降到38C.38.539从Omin至!J20min,体温y相对时间x的平均变化率为0.025(/min)A=20"0从2(^min至ij30mtn,体温y相对时间x的平均变化率为0/mic)3838.50.05(30~~20体温变化率为数，说明体温在下降，绝对值越大，体温下降得越快，所以从20min到30min体温下降比从Omin到20min体温下降要快・二、抽象概括：平均变化率1＞定义：对于一般的函数f(x)来说，当自变量X从X1变为X2时，函数值从f(xj变为f(X2),它的平均变化率为:f（x2）f（X）函数值的改变量1XX•自变量的改变量212、自变量的改变量3、

4、y心）xX2Xi；函数值的改变量y；为后面的瞬时变化率絃桶垫Xy2yi；北师大版选修2-24、Z、可正也可负，Ay还可以为0.【意义】用平均变化率来刻画函数值在区间［冷込］上的变化的快慢•【练习】课本P练习427三、瞬时变化率1＞引例：例1、【从平均速度到瞬时速度】一个小球从高空自由下落，其走过的路程=T=间t(单位：秒)的函数关系为2Sgt；其中g为重力加速度(g9.8m/s2△_-这个吋刻的瞬时速度S(单位：米)与时2)•估计小球在t5x,"as-s(ti)Zs(t)【解】当时间t从t变到ti吋，根据平均速度公式①，°t_tto-1=S(5.1)-s(5)127.45122.5，求从5s到

5、6s这段时间内小球的平均速度：•49.5(/)__ms壬=0.1有时它可以用来近视表示t5s时的瞬时憩度，为了提高精确度，可以缩短时间间隔，=s(6)s(5)176.4122.5，用它来近视表5M57I.9(」s这段时同卩(Ac)/s賂程的改变量(As)/m平均速度()/(m/s)ams5SH&的0谕猱度・0.165.4.95•149.5155.010.010・4949.04955.0010.0010.04949.004955.00010.00010.004949.000495••••••・・・11・・・如当ti5s时，平均速度趋于49m/s,因此，可以认为小毬在to由上面的表可以看出，瞬时

6、速度为49m/s的物理意违如果小球保动的话，每秒将要运动49m.例2、【估诘合金棒的线密度】一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m_,x(单位：米)亲示OX这段棒的长，y(单位：千克)表示OX这段棒葩质量，它们满足硏关系为:y2X.估计该合金棒在x=2m处的线密度.【解】从血2m到冷3m,这段合金棒的平均线密度为：f(3)f(2)3.4642.8285射嗨瞬时寧度为yl9m/持这一时刻的速度进行运S,从Xof⑶2.122m到人f(2)20〒636(kg/m),名可以近似表示~Xo——2m处合金棒•的线密度,12.1m,这段合金棒的平均线密度为：2.898.门2R9R0.70(kg/rn),它可

7、以近似表不x2m0处合金棒的线密度・0.1Xo=2m处的线密度・从X变为X1的过程中，若设X1-Xo,oAyf(Xi)-f(x)f(xo+Ax)-f(x0)△xx-xAx1o点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某点当0时，平均变化率趋于函数在xo才o/mZi/m长度•的(2)/m质量，的改变■:(3>/hg平均线BF度(気)/(kg/E22.10.10.0700.702.010.010.007