高中数学——变化的快慢与变化率.doc

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1、北师大版选修2—2变化的快慢与变化率【教学目标】理解平均变化率的概念，会求具体函数的平均变化率，理解平均变化率的实际意义．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程.体会数学的博大精深以及学习数学的意义.【教学重点】理解平均变化率的概念与计算.【教学难点】理解平均变化率的概念及实际意义.【教学过程】问题1：物体从某一时刻开始运动，设表示此物体经过时间走过的路程，显然是时间的函数，表示为.在运动过程中，测得如下数据：025101315…069203244…物体在0~2s和10~13s这两段时间内，哪一段时间运动得快？【分析】比较运动的快

2、慢，一般用平均速度来刻画.在0~2s内，平均速度为：，在10~13s内，平均速度为：，显然，在这两段时间内，后一段时间比前一段时间运动得快些.用一段时间内物体的平均速度来刻画物体运动的快慢从时间到时，物体的路程从变为，这段时间内的平均速度为：，函数变化量记作：，自变量变化量记作：，则.问题2：某病人吃完退烧药，他的体温变化如图，比较时间从到和从到体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？【答】从到，体温从下降到；从到，体温从下降到.从到，体温相对时间的平均变化率为；从到，体温相对时间的平均变化率为；体温变化率为负数，说明体温在下降，绝对值越大，体

3、温下降得越快，所以从到体温下降比从到体温下降要快.二、抽象概括：平均变化率1、定义：对于一般的函数来说，当自变量从变为时，函数值从变为，它的平均变化率为：.2、自变量的改变量；函数值的改变量；3、；为后面的瞬时变化率作结构铺垫；第3页共3页北师大版选修2—24、、可正也可负，还可以为0.【意义】用平均变化率来刻画函数值在区间上的变化的快慢.【练习】课本练习1三、瞬时变化率1、引例：例1、【从平均速度到瞬时速度】一个小球从高空自由下落，其走过的路程（单位：米）与时间（单位：秒）的函数关系为；其中为重力加速度.估计小球在这个时刻的瞬时速度.【解】当时间从变到时，根据平均

4、速度公式，求从到这段时间内小球的平均速度：，有时它可以用来近视表示时的瞬时速度，为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如到这段时间内的平均速度，用它来近视表示时的瞬时速度.当时，平均速度趋于，因此，可以认为小球在时的瞬时速度为，由上面的表可以看出，瞬时速度为的物理意义是：如果小球保持这一时刻的速度进行运动的话，每秒将要运动.例2、【估计合金棒的线密度】一根质量分布不均匀的合金棒，长为，（单位：米）表示这段棒的长，（单位：千克）表示这段棒的质量，它们满足的关系为：.估计该合金棒在处的线密度.【解】从到，这段合金棒的平均线密度为：，它可以近似表示处合金棒的线密度，从到，这段

5、合金棒的平均线密度为：，它可以近似表示处合金棒的线密度.第3页共3页北师大版选修2—2如果合金棒的长度进一步缩短，合金棒的线密度就会更接近合金棒在处的线密度.当时，平均线密度趋于，因此，可以认为合金棒在时的线密度为，由上面的表可以看出，线密度为的物理意义是：如果有长的这种线密度的合金棒，其质量将为.2、抽象概括对于一般的函数来说，当自变量从变为的过程中，若设，，则函数的平均变化率为：.当时，平均变化率趋于函数在点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某点处的变化的快慢.【备注】1、有时也会利用平均变化率去估计瞬时变化率；瞬时变化率为后面的导数的定义做了一个铺垫.2、

6、从平均变化率到瞬时变化率中含有极限的思想.3、平均变化率与瞬时变化率刻画函数变化的快慢的不同点：在区间上的变化的快慢；在某点处的变化的快慢.【练习】课本练习2四、小结：1、平均变化率与瞬时变化率的定义及计算；2、平均变化率与瞬时变化率的区别与联系；联系：都是刻画函数变化的快慢，瞬时变化率是由平均变化率演变而来的，有时也会利用平均变化率去估计瞬时变化率；区别：平均变化率刻画函数在区间上的变化的快慢；瞬时变化率刻画函数在某点处的变化的快慢.3、极限思想.4、对于不同实际问题，瞬时变化率富于不同的实际意义.     作业：课本习题2、3，1第3页共3页