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时间:2018-12-14
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1、变化的快慢与变化率21变化的快慢与变化率教学过程:一、引入:1、情境设置:(图片)巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡峭程度不同的图片2、问题:当陡峭程度不同时,登队员的感受是不一样的,如何用数学反映势的陡峭程度,给我们的登运动员一些有益的技术参考呢?3、引入:让我们用函数变化的观点研讨这个问题。二、例举分析:(一)登问题例:如图,是一座的剖面示意图:A是登者的出发点,H是顶,登路线用=f(x)表示问题:当自变量x表示登者的水平位置,函数值表示登者所在高度时,陡峭程度应怎样表示?分析:1、选取平直路AB放大研究若自变量x的改变量:函数值的改变量:直线A
2、B的斜率:说明:当登者移动的水平距离变化量一定(为定值)时,垂直距离变化量()越大,则这段路越陡峭;2、选取弯曲路D放大研究方法:可将其分成若干小段进行分析:如D1的陡峭程度可用直线D1的斜率表示。(图略)结论:函数值变化量()与自变量变化量的比值反映了坡的陡峭程度。各段的不同反映了坡的陡峭程度不同,也就是登高度在这段路上的平均变化量不同。当越大,说明坡高度的平均变化量越大,所以坡就越陡;当越小,说明坡高度的平均变化量小,所以坡就越缓。所以,——高度的平均变化成为度量的陡峭程度的量,叫做函数f(x)的平均变化率。三、函数的平均变化率与应用。(一)定义:已
3、知函数在点及其附近有定义,令;。则当时,比值叫做函数在到之间的平均变化率。(二)函数平均变化率的应用例2某市2004年4月20日最高气温为334℃,而此前的两天,4月19日和4月18日最高气温分别为244℃和186℃,短短两天时间,气温“陡增”148℃,闷热中的人们无不感叹:“天气热得太快了!”但是,如果我们将该市2004年3月18日最高气温3℃与4月18日最高气温186℃进行比较,我们发现两者温差为11℃,甚至超过了148℃.而人们却不会发出上述感叹。这是什么原因呢?原前者变化得“太快”,而后者变化得“缓慢”。问题:当自变量t表示由3月18日开始计算的
4、天数,T表示气温,记函数表示温度随时间变化的函数,那么气温变化的快慢情况应当怎样表示?分析:如图:1、选择该市2004年3月18日最高气温3℃与4月18日最高气温186℃进行比较,,由此可知;2、选择该市2004年4月18日最高气温1860与4月20日3340进行比较,,由此可知结论:函数值的平均变化率反映了温度变化的剧烈程度。各段的不同反映了温度变化的剧烈程度不同,也就是气温在这段时间内的平均变化量不同。当越大,说明气温的平均变化量越大,所以升温就越快;当越小,说明气温的平均变化量小,所以升温就越缓。(三)堂练习:甲乙二人跑步路程与时间关系以及百米赛跑
5、路程和时间的关系分别如图(1)(2)所示,试问:(1)甲乙二人哪一个跑得快?(2)甲乙二人百米赛跑,快到终点时,谁跑得比较快四、瞬时变化率以及应用:例3:已知函数,分别计算函数在下列区间上的平均变化率。解:函数的平均变化率计算公式为:变化区间自变量改变量平均变化率(1,11)0121(1,101)001201(1,1001)00012001(1,10001)0000120001……… 结论:当时间间隔越越小(趋于0)时,平均变化率趋于常数2 例4:一个小球自由下落,它在下落3秒时的速度是多少? 解:自由落体的运动公式是(其中g是重力加速度)当时间增
6、量很小时,从3秒到(3+)秒这段时间内,小球下落的快慢变化不大 因此,可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度从3秒到(3+)秒这段时间内位移的增量:从而,结论:越小,越接近294米/秒当无限趋近于0时,无限趋近于294米/秒(一)定义:设函数在附近有定义,当自变量在附近改变时,函数值相应地改变如果当时,平均变化率趋近于一个常数,则数称为函数在点处的瞬时变化率。(二)函数瞬时变化率的应用:例:设一个物体的运动方程是:,其中是初速度,时间单位为s,求:t=2s时的瞬时速度(函数s(t)的瞬时变化率)。五、堂小结:六、布置作业:本:预习:
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