数学中不等式的证明方法

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1、数学中不等式的证明方法王贵保一、利用拉格朗日中值定理1•拉格朗日中值定理：设于(兀)满足:(1)在闭区间[a,b].h连续;(2)在开区间(°,方)内可导，则有一点(a,b),使得件/(叽广©b-a2.从上式可以看出，如果能确定了厂©介于某两个数加与M之间，则有如下形式的不等式：b-a因此，欲证形如/⑺)T⑺或构造成为1⑺)-f⑺形式的不等式,可用该方法。b-ab-a例1：证明，当x>0吋，有ex->x.x_[x_0证明：由原不等式，因为x>0,可改写为一二>1的形式，或改写为^^>1xx-0的形式，这里f(t)=el,区间为[0,xj,于是可用拉格朗日中

2、值定理证明。令W,虫[0,□，则/⑴满足拉格朗H小值定理的条件，于是存在fw[0,x]有ex-e()g=">ix-0所以，冇不等式ex-l>x.例2：证明不等式0)1+兀X证明：ln(I+x)-lnx=~这里b=l+x,a=x，于是可对/(f)=t(1+x)—x在[兀，1+兀]上应用拉格朗LI中值定理.令于⑴=lnfre[x,1+x](x>0),则/⑴在[x,1+兀]上满足中值定理的条件，于是有1+X],即X<^

3、)(2)可得-?-0,则/(兀)在(o,b)内单调增加；如导数fx)<0,则.f(x)在Sb)内单调减少.3.从单调性的定义可以看出，若构造不成/⑺)—'/(⑴的形式,则可利用函数的单b-a调性进行判定证明.例3：证明，兀>0吋有ex>+

4、x.证明：^f(x)=ex-i-x，贝\fx)=ex-l>()所以/(兀)单调增加，于是当x>()时有/(x)>/(0)=0,即有f(x)>0.或ex>l+x例4：证明x>1时，有lnx>―—尢+1证明：令f(x)=x-2(x~]),贝ijx+1_12[(x+l)-(兀-1)]_14J(X丿—72——T\2X(兀+1)X(X+1)(X+1)2—4-X(X+1)~一X(X+1)2一心+1)2'由兀>1知fx)>0,所以/(x)单调增加，于是当兀>1时有/(x)>/(I)=0,即得:I2(兀一1)lnx>———-.兀+1三、利用闭区间上的连续函数可以

5、取得最大值与最小值的方法1.定理:若/(兀)在闭区间[a,0]上取得最大值M与最小值加，于是有/nW/*(兀)WM.X=-G[0,1]22.因此，若在不筹式的证明小，如有某一个变量受到限制时，可用该方法。3.最大值与最小值的求法为：先对/（兀）求导，得方程（兀）=（），求出其解，比如为X

6、,x2,…，xn,然后计算/（%］）,/（x2）,…，及f（Q）与/（/?）,从中取最大者为最人值，最小者为最小值.例5：证明，当0WxWl,卩＞1时有不等式厶W兀°+（1_兀）"W］2-1证明：这里因兀有限制,xe［O,1］,可见,应求函数f（x）=xp在［0,1］上的最

7、人值及最小值.fx)=pxp-'-p(i-xy~l=0,可得于是有厶00+（1-朗"W1•2Z1四、利用函数的凹凸性进行证明、（兀+V'1.定义：设函数/（%）在（a,b）内有定义，如兀，yw（a,b）有f-——-WI2丿*［/（%）+/（y）］则称函数/⑴在a,b）内为凹函数，如有专彳3*［/（切+/0）］，则称函数f（x）在（a,b）内为凸函数：更加一般地，如有/，+勺+…+工〃wIn丄［门州）+…+/久）］则称f⑴在Sb）内为凹函数，如有/，+勺+…+匕M〃）丄［/（兀

8、）+/（兀2）+…+/（耳）］，则称/⑴在（G,b）内为凸函数.M'l'Xj

9、,x2,-Sn2•因此如在不等式的证明中出现了形如/X]+X2HXn的形式,可用函数I叫凸性来证明.3.函数凹凸性的判定:如/（x）在（a,b）内的二阶导数厂（兀）＞0,则函数/（兀）为凹函数，如/'（x）＜0,则函数/（兀）为凸函数.空]例6：证明，当y吋，有€2<—（"+€、）•2x+y1竺I<-[/W+/(.y)]("y)•即e2<-(^v+^v)•证明：由于在所证明的不等式中有的形式，因此可用函数的凹凸性证明，为此,令g=e‘，则ft）=e,>0,于是函数f（t）=e!为凹函数,从而对任何兀,y有”x+yI2注：本例对以推广到如F的不等式，即e“<

10、丄（£刁+0七+・・・+/”）n例7：证明，当坷，兀